求函数 f(x) = 5cosx - cos5x 在区间 [0, π/4] 的最大值. (2) 给定 θ ∈ (0, π) 和 a ∈ R, 证明: 存在 y ∈ [a - θ, a + θ], 使得 cos y ≤ cos θ. (3) 设 b ∈ R, 若存在 φ ∈ R 使得 5cosx - cos(5x + φ) ≤ b 对 x ∈ R 恒成立, 求 b 的最小值.

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我们需要求函数 f(x) = 5cosx - cos5x 在区间 [0, π/4] 的最大值。首先画出函数图像，可以看到在区间内有几个关键点。通过求导数并令其为零，我们找到临界点 x = π/6。计算各点的函数值，发现最大值出现在 x = π/6 处，值为 3√3。 这是一个关于余弦函数性质的证明题。我们需要证明在任意长度为2θ的区间内，总存在一点使得其余弦值不超过cosθ。从图像可以看出，余弦函数是周期函数，在每个周期内都会达到-1这个最小值。由于区间长度为2θ，而余弦函数的周期性质保证了这样的点必然存在。 第三个问题要求b的最小值，使得不等式对所有x恒成立。我们需要找到表达式5cosx - cos(5x + φ)的最大值。通过复数方法分析，可以证明这个表达式的上界是6。当φ = π时，表达式变为5cosx + cos5x，在x = 0处达到最大值6。因此b的最小值是6。 让我们总结一下这三个问题的解题方法。第一题使用求导数的方法找到临界点，通过比较端点和临界点的函数值得到最大值3√3。第二题利用余弦函数的周期性和反证法进行证明。第三题运用复数的三角不等式，找到表达式的上界，并证明这个上界可以达到，从而得到b的最小值为6。 现在我们得到了三个问题的最终答案。第一题，函数f(x) = 5cosx - cos5x在区间[0, π/4]的最大值是3√3。第二题，我们成功证明了对于给定的θ和a，总存在y在区间[a-θ, a+θ]内使得cosy ≤ cosθ。第三题，b的最小值是6。这些问题展示了三角函数在数学分析中的重要应用。