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抽象代数是现代数学的重要分支，它研究各种代数结构的抽象性质。与传统代数不同，抽象代数不关注具体的数值计算，而是研究运算的规律和结构。主要研究对象包括群、环、域和向量空间等代数结构。
群是抽象代数中最基本的代数结构。一个群由一个集合和一个运算组成，必须满足四个基本公理。首先是封闭性，即群中任意两个元素的运算结果仍在群中。其次是结合律，运算的顺序不影响结果。第三是存在单位元，与任何元素运算都不改变该元素。最后是每个元素都有逆元，使得元素与其逆元的运算结果为单位元。
阿贝尔群是一种特殊的群，它除了满足群的四个基本公理外，还满足交换律。也就是说，对于阿贝尔群中的任意两个元素a和b，运算a乘以b的结果等于b乘以a的结果。这个交换性质使得阿贝尔群在数学的许多分支中都有重要应用，特别是在数论、代数几何和拓扑学中。
让我们看一些阿贝尔群的具体例子。整数在加法运算下构成阿贝尔群，因为加法满足交换律。有理数在乘法运算下也是阿贝尔群。模n加法群是有限阿贝尔群的重要例子。这里展示的是模4加法群的运算表，我们可以看到1加2等于3，2加1也等于3，体现了交换律的性质。
抽象代数在现代数学中具有重要地位。它为数学提供了统一的理论框架，揭示了不同数学对象之间的共性。抽象代数不仅是纯数学研究的基础，还在密码学、编码理论、数论等应用领域发挥重要作用。阿贝尔群作为最基本的代数结构，是理解环、域等更复杂结构的起点，为整个抽象代数理论奠定了基础。