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韦达定理是代数学中的重要定理，它揭示了多项式方程的根与系数之间的关系。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，如果设两根为x₁和x₂，那么两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。
韦达定理可以通过因式分解来推导。如果x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0的根，那么原方程可以写成a(x-x₁)(x-x₂)=0的形式。展开这个表达式，我们得到ax²减去a倍的x₁加x₂乘以x，再加上a倍的x₁乘以x₂等于0。对比原方程的系数，我们可以得出韦达定理的公式。
让我们通过一个具体例子来看韦达定理的应用。对于方程x²-5x+6=0，我们可以识别出系数a等于1，b等于负5，c等于6。根据韦达定理，两根之和等于负b除以a，即负负5除以1等于5。两根之积等于c除以a，即6除以1等于6。我们可以验证：解这个方程得到x₁等于2，x₂等于3，确实2加3等于5，2乘以3等于6。
韦达定理还可以逆向应用。如果已知两根的和与积，我们可以构造原方程。一般形式是x²减去两根之和乘以x，再加上两根之积等于0。例如，已知两根之和为7，两根之积为12，那么方程就是x²-7x+12=0。解这个方程得到x₁等于3，x₂等于4，验证确实3加4等于7，3乘以4等于12。
韦达定理是代数学中的重要工具，具有深远的意义。它让我们能够不解方程就求出根的关系，可以构造满足特定条件的方程，简化复杂的代数运算。韦达定理在代数方程求解、函数性质研究、数学竞赛以及高等数学中都有广泛应用。这个定理体现了数学中的对称美，展现了根与系数之间的优美关系。