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勾股定理是数学中最著名的定理之一。在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果我们用a和b表示两条直角边，用c表示斜边，那么就有a的平方加b的平方等于c的平方这个关系。
为了更好地理解勾股定理，我们可以从面积的角度来证明。在直角三角形的三条边上分别作正方形。边长为a的正方形面积是a的平方，边长为b的正方形面积是b的平方，边长为c的正方形面积是c的平方。勾股定理告诉我们，两个小正方形的面积之和恰好等于大正方形的面积。
让我们通过一个经典例题来应用勾股定理。已知一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。根据勾股定理，3的平方加4的平方等于斜边的平方。计算得出9加16等于25，所以斜边等于25的平方根，也就是5。这就是著名的3-4-5直角三角形。
勾股定理在实际生活中有广泛的应用。比如在建筑工程中，工人需要架设梯子到建筑物顶部。已知建筑物高度是3米，梯子底部距离建筑物4米，那么梯子的长度就可以用勾股定理计算：梯子长度的平方等于高度的平方加距离的平方，也就是5米。这样的应用在导航、测量、工程等领域都很常见。
让我们总结一下勾股定理的要点。勾股定理适用于所有直角三角形，表述为两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们学习了经典的3-4-5三角形，以及其他常见的勾股数组合。勾股定理在建筑、导航、工程、测量等领域都有重要应用。这个古老而优美的定理至今仍是数学学习的重要基础。