解答下该题---已知函数 $f(x) = \cos(2x + \varphi)$ ($0 \leq \varphi < \pi$), $f(0) = \frac{1}{2}$. (1) 求 $\varphi$: (2) 设函数 $g(x) = f(x) + f(x - \frac{\pi}{6})$, 求 $g(x)$ 的值域和单调区间.

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我们来解这道三角函数题。已知函数f(x)等于cos(2x加φ)，其中φ在0到π之间，且f(0)等于二分之一。首先求φ的值。将x等于0代入函数，得到f(0)等于cos(φ)。由题意知cos(φ)等于二分之一。在区间0到π内，使余弦值等于二分之一的角是π/3。因此φ等于π/3。 现在我们构建函数g(x)。由第一部分可知，f(x)等于cos(2x加π/3)。函数g(x)定义为f(x)加上f(x减π/6)。我们需要先计算f(x减π/6)。将x减π/6代入f(x)，得到cos(2倍的x减π/6再加π/3)。化简括号内的表达式：2x减π/3加π/3等于2x。所以f(x减π/6)等于cos(2x)。因此g(x)等于cos(2x加π/3)加cos(2x)。 现在我们化简g(x)并求其值域。g(x)等于cos(2x加π/3)加cos(2x)。使用和差化积公式：cosA加cosB等于2cos((A加B)/2)cos((A减B)/2)。设A等于2x加π/3，B等于2x。计算得(A加B)/2等于2x加π/6，(A减B)/2等于π/6。所以g(x)等于2cos(2x加π/6)cos(π/6)。因为cos(π/6)等于√3/2，所以g(x)等于√3cos(2x加π/6)。由于余弦函数的值域是负1到1，所以g(x)的值域是负√3到√3。 现在我们求g(x)的单调区间。g(x)等于√3cos(2x加π/6)。余弦函数在区间[2kπ, (2k+1)π]上单调递减，在区间[(2k+1)π, (2k+2)π]上单调递增，其中k是整数。令u等于2x加π/6。对于递减区间，我们有2kπ小于等于2x加π/6小于等于(2k+1)π。解得kπ减π/12小于等于x小于等于kπ加5π/12。对于递增区间，解得kπ加5π/12小于等于x小于等于kπ加11π/12。 让我们总结这道题的完整答案。第一部分，通过f(0)等于1/2的条件，我们求得φ等于π/3。第二部分，我们构建了函数g(x)，通过和差化积公式化简得到g(x)等于√3cos(2x加π/6)。g(x)的值域是负√3到√3。单调递减区间是kπ减π/12到kπ加5π/12，单调递增区间是kπ加5π/12到kπ加11π/12，其中k是任意整数。这样我们就完整地解答了这道三角函数题。