解答下该题---已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , 长轴长为 4, (1) 求 $C$ 的方程; (2) 过点 $(0,-2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A、B$ 两点, $O$ 为坐标原点. 若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt{2}$. 求 $|AB|$.

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我们来解这道椭圆方程题。已知椭圆的离心率为根号2除以2，长轴长为4。首先，从长轴长2a等于4，我们得到a等于2。然后利用离心率公式e等于c除以a，得到c等于根号2。最后用关系式a平方等于b平方加c平方，计算得b平方等于2。因此椭圆方程为x平方除以4加y平方除以2等于1。 现在我们来解第二问。过点(0,-2)的直线l与椭圆C交于A、B两点。设直线方程为y等于kx减2。将直线方程代入椭圆方程，得到x平方除以4加(kx减2)平方除以2等于1。整理后得到关于x的一元二次方程：(1加2k平方)x平方减8kx加4等于0。 接下来计算三角形OAB的面积。设交点为A(x_A, y_A)和B(x_B, y_B)，由韦达定理得到x_A加x_B等于8k除以(1加2k平方)，x_A乘x_B等于4除以(1加2k平方)。三角形OAB的面积公式为二分之一乘以|x_A乘y_B减x_B乘y_A|的绝对值，化简后得到面积等于|x_B减x_A|。已知面积为根号2，所以|x_B减x_A|等于根号2，即(x_B减x_A)平方等于2。通过计算得到k平方等于二分之三。 最后计算弦长|AB|。使用弦长公式|AB|等于根号下(x_A减x_B)平方加(y_A减y_B)平方。由于y_A减y_B等于k乘以(x_A减x_B)，所以弦长公式简化为|x_A减x_B|乘以根号下(1加k平方)。将已知的|x_A减x_B|等于根号2和k平方等于二分之三代入，计算得到|AB|等于根号2乘以根号下(1加二分之三)，等于根号2乘以根号下二分之五，最终得到|AB|等于根号5。 让我们总结一下这道椭圆题的完整解题过程。首先，根据长轴长为4求得a等于2，根据离心率根号2除以2求得c等于根号2，进而计算得b平方等于2，椭圆方程为x平方除以4加y平方除以2等于1。然后设过点(0,-2)的直线方程为y等于kx减2，联立椭圆方程求得交点。利用三角形OAB面积为根号2的条件，求得k平方等于二分之三。最后使用弦长公式计算得到|AB|等于根号5。这就是本题的最终答案。