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勾股定理是平面几何中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。用数学公式表示就是a的平方加b的平方等于c的平方。
我们用面积法来证明勾股定理。首先在直角三角形的每条边上构造正方形。边长为a的正方形面积是a的平方，边长为b的正方形面积是b的平方，边长为c的正方形面积是c的平方。我们的目标是证明a的平方加b的平方等于c的平方。
现在我们构造一个边长为a加b的大正方形。这个大正方形可以用两种方式分割。第一种方式是用四个相同的直角三角形加上一个边长为c的正方形来填满。大正方形的面积等于四个三角形的面积加上c的平方。
第二种分割方式是用四个相同的直角三角形加上两个正方形：一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形。由于两种分割方式填满的是同一个大正方形，所以面积相等。通过面积等式的计算，我们消去公共部分，最终得到c的平方等于a的平方加b的平方。这就完成了勾股定理的证明。
勾股定理在生活中有很多实际应用。比如梯子问题：当我们需要把梯子靠在墙上时，如果知道梯子底部离墙的距离是3米，梯子顶端的高度是4米，我们就可以用勾股定理计算出梯子的长度。根据公式，3的平方加4的平方等于25，所以梯子长度是5米。这样的计算在建筑、工程等领域都非常有用。