视频字幕
因子分析是一种重要的多元统计分析方法。它的核心思想是将多个观测变量的变异性，用较少的潜在因子来解释。比如我们有六个观测变量X1到X6，通过因子分析可能发现它们背后只有两个主要因子F1和F2在起作用。这样就实现了数据降维，同时揭示了变量间的内在结构关系。
因子分析的数学模型可以用一个线性方程来表示。每个观测变量Xi等于其均值μi，加上各个公共因子Fj与对应因子载荷λij的乘积之和，再加上特殊因子εi。因子载荷反映了公共因子对观测变量的影响程度。在因子空间中，我们可以用载荷向量来表示变量与因子的关系，数据点的分布反映了样本在因子空间中的位置。
因子分析的实施包括五个主要步骤。首先是数据收集与准备，需要收集相关的观测变量数据并进行标准化处理。第二步计算相关矩阵，分析变量间的相关关系。第三步是因子提取，常用主成分分析法或主轴因子法从相关矩阵中提取公共因子。第四步进行因子旋转，使因子载荷矩阵更易于解释。最后一步是因子解释与命名，根据因子载荷给每个因子赋予实际意义。
因子旋转是因子分析中的关键步骤，目的是使因子载荷矩阵更容易解释。通过旋转，我们希望每个因子只在少数变量上有高载荷，每个变量也只在少数因子上有高载荷。正交旋转如方差最大法保持因子间相互独立，而斜交旋转则允许因子间存在相关性。旋转后，我们根据高载荷变量的共同特征为因子命名，赋予其实际意义，这样就完成了从数据到知识的转化。
因子分析作为一种强大的多元统计分析方法，在众多领域都有广泛应用。在心理学中用于智力因子和人格特质研究，在市场营销中分析消费者行为和品牌形象，在教育领域评估学习能力和教学质量，在金融分析中识别风险因子和构建投资模型，在社会科学中研究社会态度和生活质量。此外还应用于医学研究、工程技术、环境科学等领域。因子分析帮助我们从复杂的数据中发现简单的潜在结构，是现代数据分析不可或缺的重要工具。