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三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与直角三角形边长之间的关系。在直角三角形中，我们有角θ、对边b、邻边a和斜边c。基本的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们在几何、物理和工程等领域有广泛应用。
基本的三角函数定义如下：正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，正切函数等于对边除以邻边。这些比值关系在直角三角形中保持不变，无论三角形的大小如何。通过这些定义，我们可以根据已知的角度和一条边长来计算其他边长。
单位圆为三角函数提供了更广泛的定义。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，该点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化。这种定义使得三角函数可以扩展到任意角度，包括大于90度和负角度。
三角函数的图像展示了它们的周期性质。正弦函数图像呈波浪形，从0开始，在π/2时达到最大值1，在π时回到0，在3π/2时达到最小值-1，最后在2π回到0。余弦函数图像与正弦函数相似，但向左平移了π/2，从1开始。这两个函数都是周期为2π的周期函数，在数学和物理中有广泛应用。
三角函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，这可以通过单位圆直观理解。还有加法公式等其他重要恒等式。三角函数在几何测量、物理学的波动和振动分析、工程学、计算机图形学以及信号处理等众多领域都有广泛应用，是数学中极其重要的工具。