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复数的发展历史跨越了五个世纪。从16世纪卡尔达诺首次遇到负数的平方根，到邦贝利建立运算规则，再到笛卡尔引入虚数术语，欧拉创立符号i，韦塞尔提出几何表示，最后高斯完善复数理论。这一历程展现了数学概念从抽象到具体的演化过程。
1545年，意大利数学家卡尔达诺在《大术》一书中研究三次方程的解法时，遇到了一个前所未有的问题。在求解方程x³等于15x加4时，他的公式要求计算负121的平方根。虽然卡尔达诺称这些数为"虚幻的"并认为它们是无用的，但这一发现标志着复数概念的历史性诞生。
18世纪，瑞士数学家欧拉在复数发展史上留下了不可磨灭的印记。他首先引入了符号i来表示负一的平方根，使复数的表示更加简洁明了。更重要的是，欧拉发现了连接指数函数与三角函数的著名公式：e的i倍θ次方等于余弦θ加i倍正弦θ。这个公式的特殊情况e的i倍π次方加1等于0，被誉为数学中最美丽的公式。
18世纪末至19世纪初是复数发展史上的重要转折点。挪威测量学家韦塞尔、法国数学家阿冈德以及德国数学家高斯独立地提出了复数的几何表示法，即复平面。在这个平面中，复数a加bi被表示为坐标为(a,b)的点，其中横轴是实轴，纵轴是虚轴。这种几何解释使得复数的运算具有了直观的几何意义：加法对应向量的加法，乘法对应旋转和伸缩变换。
从19世纪开始，复数理论得到了严格的数学基础，柯西和黎曼等数学家建立了完整的复变函数论体系。今天，复数已经成为现代科学技术不可或缺的工具。在物理学中，复数用于描述波动和振动；在工程学中，用于电路分析和信号处理；在量子力学中，波函数本身就是复数函数。从最初被视为"虚幻"的数，到如今成为描述现实世界的强大工具，复数的发展历程完美诠释了数学概念从抽象到应用的伟大转变。