视频字幕
微積分是數學中研究變化的重要工具，在香港中學文憑試數學延伸部分單元二中是核心課題。微積分主要分為兩大部分：微分和積分。微分研究函數的瞬時變化率，在圖形上表現為曲線的切線斜率。積分則研究如何計算累積量，最常見的應用是計算曲線下的面積。這兩個概念通過微積分基本定理緊密相連，是解決許多實際問題的基礎。
微分是微積分的第一個重要概念，用於研究函數的瞬時變化率。在幾何上，微分表示曲線在某一點的切線斜率。我們用 f'(x) 或 dy/dx 來表示函數 f(x) 的微分。基本的微分法則包括：常數的微分等於零，x的n次方的微分等於n乘以x的n-1次方，以及函數和差的微分等於各函數微分的和差。當點在曲線上移動時，切線斜率會隨之改變，這就是微分值的變化。
積分是微積分的第二個重要概念，是微分的逆運算。在幾何上，積分表示曲線下的面積。積分有兩種類型：不定積分和定積分。不定積分是求反導數，結果包含任意常數C。定積分則計算特定區間內的面積，是一個確定的數值。基本的積分法則是x的n次方的積分等於x的n+1次方除以n+1再加上常數C。當我們改變積分的上限時，曲線下的面積會相應變化。
在HKDSE數學延伸部分中，需要掌握常見函數的微積分公式。對於多項式函數，x的n次方的微分是n倍x的n-1次方，積分則是x的n+1次方除以n+1。三角函數方面，正弦函數的微分是餘弦函數，餘弦函數的微分是負正弦函數。指數函數e的x次方的微分仍是它本身，而自然對數函數ln x的微分是1除以x。熟練掌握這些基本公式是解決微積分問題的關鍵。
微積分在HKDSE中有廣泛應用。微分的應用包括求切線和法線方程、判斷函數的增減性，以及解決最佳化問題如求最大面積或最小成本。積分的應用則包括計算曲線下面積、兩條曲線之間的面積，以及旋轉體的體積。要在考試中取得好成績，需要熟記基本公式，理解微積分的幾何意義，多做歷屆試題來熟悉題型，並且在計算過程中注意細節，避免因小錯誤而失分。通過系統學習和大量練習，你一定能夠掌握微積分並在HKDSE中取得優異成績。