视频字幕
今天我们来推导三角函数的两角和差公式。这些公式在三角学中非常重要。我们从单位圆开始，考虑两个角α和β，它们对应圆上的点P1和P2。通过几何关系，我们可以推导出余弦、正弦和正切的和差公式。
现在我们推导余弦的两角差公式。在单位圆上，考虑两点P1和P2之间的距离。根据余弦定理，这个距离的平方等于2减去2倍的cos(α-β)。同时，我们也可以用坐标距离公式计算这个距离。通过令两种计算结果相等，并利用平方和恒等式，我们得到余弦两角差公式。
基于余弦两角差公式，我们可以推导出其他所有的和差公式。余弦和公式通过将β替换为负β得到。正弦的和差公式利用诱导公式，将正弦转换为余弦来推导。正切的和差公式则通过正弦除以余弦的定义，结合分子分母同除的技巧得到。这样我们就完成了所有三角函数和差公式的推导。
让我们通过一个具体例子来应用这些公式。计算sin75度，我们可以将75度分解为45度加30度。使用正弦和公式，sin75度等于sin45度乘以cos30度，加上cos45度乘以sin30度。代入已知的特殊角三角函数值，我们得到最终结果为根号6加根号2，再除以4。这展示了和差公式在计算中的实用性。
总结一下，我们通过几何方法推导出了三角函数的和差公式。这些公式包括余弦、正弦和正切的和差形式。它们在数学中有广泛应用，可以用来计算特殊角的三角函数值，化简三角表达式，解三角方程。在物理和工程领域，这些公式在波动分析和信号处理中也发挥重要作用。掌握这些公式的推导过程有助于深入理解三角函数的本质。