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重整化群是现代物理学中的一个重要数学框架。它主要应用于统计力学和量子场论等领域。重整化群的核心思想是研究物理系统在不同尺度下的行为如何变化。当我们改变观察系统的尺度时，系统的有效描述也会发生相应的变化。
粗粒化是重整化群的核心操作。首先，我们将物理系统分成许多小块。然后，通过积分掉短距离或高能的自由度，我们得到一个在长距离或低能下的有效理论。这个过程会改变系统的参数，使其随着观察尺度的变化而"流动"。
重整化群变换会导致系统参数的流动。耦合常数g在变换下变为g'，这个过程依赖于能量截断的比值。特别重要的是不动点，即满足g等于g'的点。稳定不动点会吸引附近的流，而不稳定不动点则排斥流。临界现象通常发生在这些不动点附近。
重整化群在相变研究中发挥着关键作用。对于二级相变，系统在临界点附近表现出标度不变性。物理量遵循幂律行为，比如磁化强度和比热的临界指数。重要的是，不同的物理系统可能属于同一个普适性类，具有相同的临界指数，这体现了重整化群的普适性。
重整化群在现代物理学中有着广泛的应用。在统计力学中，它帮助我们理解伊辛模型和渗流理论。在量子场论中，重整化群描述了耦合常数随能量标度的演化，解释了渐近自由等现象。在凝聚态物理中，它用于研究安德森局域化和量子相变。重整化群已经成为现代物理学不可或缺的理论工具。