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复分析是数学的一个重要分支，主要研究复数域上的函数。它是实分析在复数域上的推广和发展。复数可以表示为实部加虚部的形式，在复平面上每个点都对应一个复数。
全纯函数是复分析的核心概念。如果一个复函数在某点可复微分，我们称它在该点全纯。全纯函数必须满足柯西-黎曼方程，这是一组偏微分方程，描述了函数实部和虚部之间的关系。
复积分是沿复平面上路径进行的积分。柯西积分定理指出，如果函数在简单闭合路径内部全纯，则沿该路径的积分为零。柯西积分公式则给出了通过围道积分计算函数值的方法。
留数定理是复分析中计算复积分的强大工具。当函数在闭合路径内有奇点时，积分值等于二π i乘以所有奇点留数的和。留数是奇点附近函数的重要性质，可以通过极限来计算。
复分析在现代科学技术中有广泛应用。在物理学中，它是量子力学和电磁学的基础工具。在工程学中，用于信号处理和控制理论。在数学本身，复分析与数论、代数几何等领域密切相关，是现代数学不可缺少的重要分支。