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特征值和特征向量是线性代数中的核心概念。当一个矩阵作用于某个向量时，如果这个向量的方向保持不变，只是长度发生变化，那么这个向量就是特征向量，而长度变化的倍数就是特征值。
特征向量的定义是：对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av等于λv，其中λ是一个标量，那么v就是A的特征向量，λ是对应的特征值。这意味着矩阵变换只改变向量的长度，而不改变其方向。
特征值决定了特征向量如何被缩放。当特征值大于1时，向量被拉伸；当特征值在0到1之间时，向量被缩短；当特征值为负数时，向量方向反转并缩放；当特征值为1时，向量保持不变。
让我们通过一个具体例子来计算特征值和特征向量。对于矩阵A，我们求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ₁=3和λ₂=2。对应的特征向量分别沿x轴方向和对角线方向，变换后分别被缩放3倍和2倍。
特征值和特征向量在众多领域有重要应用。在数据科学中用于主成分分析和降维，在图像处理中用于压缩和变换，在物理学中描述量子态和振动模式，在工程中分析结构稳定性，在计算机科学中用于网页排名算法。它们揭示了线性变换的本质特性，是现代科学技术的重要数学工具。