解答下该题---已知函数 $f(x) = \ln(1+x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3$, 其中 $0 < k < \frac{1}{3}$. (1) 证明: $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点. (2) 设 $x_1, x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 的极值点和零点. (i) 设函数 $g(t) = f(x_1 t) - f(x_1, -t)$, 证明: $g(t)$ 在区间 $(0, x_1)$ 单调递减; (ii) 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小, 并证明你的结论.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

我们来分析这个函数的性质。首先求导数f'(x)等于1除以1加x，减1加x减3kx²。令导数为零，可得极值点x₁等于1减3k除以3k。由于0小于k小于三分之一，所以x₁大于零。通过分析导数符号变化，可知x₁是唯一极大值点。 接下来证明零点的存在性和唯一性。当x趋近于0正时，通过泰勒展开可知f(x)大于0。当x趋近于正无穷时，由于负kx³项占主导，f(x)趋向负无穷。由于f(x)在0到x₁区间递增，在x₁到正无穷区间递减，且f(x₁)大于0，根据介值定理，存在唯一的x₂使得f(x₂)等于0。 现在证明函数g(t)等于f(x₁加t)减f(x₁减t)在区间0到x₁上单调递减。首先求导数g'(t)等于f'(x₁加t)加f'(x₁减t)。利用之前得到的f'(x)等于3kx²乘以x₁减x，可以计算出g'(t)等于负12kx₁t²。由于k大于0，x₁大于0，t大于0，所以g'(t)小于0，因此g(t)在该区间单调递减。 最后比较2x₁与x₂的大小。由于g(t)在区间0到x₁上单调递减，当t趋近于x₁时，g(x₁)等于f(2x₁)减f(0)。通过积分计算得到g(x₁)等于负4kx₁的四次方。因为f(0)等于0，所以f(2x₁)小于0。由于f(x)在x₁到正无穷区间单调递减，且f(x₂)等于0大于f(2x₁)，根据单调性可得2x₁大于x₂。 这是一道关于函数性质分析的综合题目。给定函数f(x)等于ln(1+x)减x加二分之一x平方减kx立方，其中k是在0到三分之一之间的常数。我们需要分析这个函数的极值点和零点的存在性与唯一性，并研究相关函数的单调性。 为了证明极值点和零点的存在性与唯一性，我们首先对函数求导。导数f'(x)等于1除以1+x，减1，加x，减3kx平方。通过分析导数的符号变化，可以确定原函数的单调性。由于k小于三分之一，导数函数先增后减，存在唯一的零点，对应原函数的唯一极值点。 对于问题2的第一部分，我们需要证明函数g(t)等于f(x₁+t)减f(x₁-t)在区间(0,x₁)内单调递减。通过对g(t)求导，得到g'(t)等于f'(x₁+t)加f'(x₁-t)。由于x₁是极值点，结合函数的单调性分析，可以证明g'(t)小于0，因此g(t)在指定区间单调递减。 最后我们来比较2x₁与x₂的大小。利用前面证明的g(t)单调递减性质，当t等于x₁时，g(x₁)等于f(2x₁)减f(0)，即f(2x₁)。由于g(t)在(0,x₁)递减且g(0)等于0，所以f(2x₁)小于0。而x₂是函数的零点，且位于极值点右侧。结合函数在极值点后的单调递减性，可以得出2x₁小于x₂的结论。 通过以上分析，我们完整解决了这个函数问题。首先证明了f(x)在正实数区间存在唯一的极值点x₁和唯一的零点x₂。然后证明了函数g(t)在指定区间的单调递减性质。最后通过积分计算和单调性分析，得出了2x₁小于x₂的重要结论。这道题综合运用了导数分析、泰勒展开、介值定理等多种数学工具，体现了函数性质分析的完整思路。