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圆锥曲线最初来源于古希腊数学家对圆锥的研究。当我们用一个平面去截割一个双圆锥时，根据截割平面与圆锥轴的角度不同，会得到不同的曲线。垂直截割得到圆，倾斜截割得到椭圆，平行于母线截割得到抛物线，而穿过两个锥面截割则得到双曲线。
椭圆有一个重要的轨迹定义：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点。当点P在椭圆上移动时，它到两个焦点F1和F2的距离之和始终保持不变，等于2a。这个性质是椭圆最基本的几何特征。
抛物线有另一种重要的轨迹定义：平面上到定点和定直线距离相等的点的轨迹。定点叫做焦点，定直线叫做准线。当点P在抛物线上移动时，它到焦点F的距离始终等于它到准线的距离。这个性质使抛物线在光学和工程中有重要应用。
通过轨迹定义和坐标系，我们可以推导出圆锥曲线的标准方程。椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1，抛物线的标准方程是y² = 4px，双曲线的标准方程是x²/a² - y²/b² = 1。这些方程简洁地描述了各种圆锥曲线的代数特征，为进一步研究它们的性质奠定了基础。
所有圆锥曲线都可以用一般的二元二次方程表示。通过判别式B²减4AC的值，我们可以判断曲线类型：小于0是椭圆，等于0是抛物线，大于0是双曲线。基于这些方程，我们可以研究圆锥曲线的重要性质，如焦点、顶点、离心率等，这些性质在数学、物理和工程中都有重要应用。