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导数函数，记作f'(x)或dy/dx，是微积分中的基本概念。它表示原函数在每个点处的瞬时变化率。从几何角度看，导数给出了曲线在任意给定点处切线的斜率。例如，如果我们有f(x) = 1/2 x²，那么它的导数函数f'(x) = x。
导数的严格定义是通过极限过程来表示的。我们考虑函数在某点x处的变化率，当我们取一个很小的增量Δx时，函数值的变化是Δy。比值Δy/Δx表示平均变化率。当Δx趋近于0时，这个比值的极限就是导数，也就是瞬时变化率。
在学习导数时，我们需要掌握一些基本的导数公式。常数的导数是0，因为常数不会变化。幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n-1次方，这是最重要的幂规则。三角函数中，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数。指数函数e的x次方的导数是它本身，自然对数函数的导数是1除以x。
导数的几何意义非常直观。当我们在曲线上移动一个点时，可以看到切线的斜率在不断变化。在函数递增的地方，导数为正，切线向上倾斜；在函数递减的地方，导数为负，切线向下倾斜。在极值点处，导数为零，切线水平。这就是导数与函数图像之间的几何关系。
导数在各个领域都有广泛的应用。在数学中，我们用导数来求函数的极值点和分析函数的单调性，解决优化问题。在物理学中，位置函数的导数就是瞬时速度，速度的导数就是加速度。在经济学中，成本函数的导数表示边际成本，收益函数的导数表示边际收益。在工程技术中，导数帮助我们分析各种变化率问题。总之，导数是微积分的基础工具，为我们理解和描述变化提供了强大的数学语言。
导数的严格定义是通过极限过程来表示的。我们考虑函数在某点x处的变化率，当我们取一个很小的增量Δx时，函数值的变化是Δy。比值Δy/Δx表示平均变化率。当Δx趋近于0时，这个比值的极限就是导数，也就是瞬时变化率。
在学习导数时，我们需要掌握一些基本的导数公式。常数的导数是0，因为常数不会变化。幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n-1次方，这是最重要的幂规则。三角函数中，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数。指数函数e的x次方的导数是它本身，自然对数函数的导数是1除以x。