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尺规作图是古典几何学中的基本技法，只使用无刻度的直尺和圆规这两种工具。直尺用于连接两点画直线，圆规用于以某点为圆心画圆或弧。今天我们将学习如何用这两种工具作出角的角平分线和线段的垂直平分线。
现在我们来学习如何作一个角的角平分线。假设要作角AOB的角平分线。首先，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，与角的两边分别相交于点C和D。然后，分别以C和D为圆心，以相同的半径在角内部画弧，两弧相交于点E。最后，连接顶点O和点E，射线OE就是角AOB的角平分线。
接下来学习如何作线段的垂直平分线。假设要作线段AB的垂直平分线。首先，分别以线段的两个端点A和B为圆心，以大于线段AB长度一半的相同半径，在线段的两侧各画一条弧。这样在线段AB的上方和下方分别得到两个交点C和D。最后，用直尺连接点C和点D，直线CD就是线段AB的垂直平分线，它垂直于线段AB并通过其中点M。
现在我们来理解尺规作图的几何原理。对于角平分线，我们利用了等腰三角形的性质。由于OC等于OD，CE等于DE，所以三角形OCE和ODE都是等腰三角形，这保证了OE确实平分角COD。对于垂直平分线，我们利用了菱形的性质。由于AC、AD、BC、BD四条边都相等，所以四边形ACBD构成菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，因此CD垂直平分AB。
尺规作图在许多领域都有重要应用。在几何证明中，我们经常需要构造辅助线来解决问题。在建筑设计中，尺规作图帮助建筑师进行精确的测量和绘图。在艺术创作中，它被用来设计美丽的几何图案。在数学教育中，尺规作图培养学生的逻辑思维和空间想象能力。如图所示，通过角平分线可以找到三角形的内心和内切圆，通过垂直平分线可以找到外心和外接圆。尺规作图体现了数学的严谨性和几何美学的完美结合。