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欢迎来到微积分的世界！微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化和累积。微积分包含两个核心部分：微分学研究瞬时变化率，比如曲线在某点的切线斜率；积分学研究累积，比如计算曲线下的面积。这两个概念看似不同，但通过微积分基本定理紧密相连。
在学习微积分之前，我们需要打好数学基础。首先要理解函数的概念和图像，熟悉各种常见函数。然后学习极限的直观含义：当自变量趋近某个值时，函数值趋近的目标值。这里我们看到，当x趋近于2时，函数值趋近于f(2)。连续性是另一个重要概念，它描述函数图像没有断点或跳跃。
导数是微积分的第一个核心概念，它描述函数的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是曲线在某点的切线斜率。我们通过割线逼近切线来理解这个概念：当两点之间的距离趋近于零时，割线就变成了切线。从物理角度看，导数表示瞬时速度或瞬时变化率。数学上，导数通过极限来严格定义。
积分是微积分的第二个核心概念，它研究累积和面积。从几何角度看，定积分表示曲线下的面积。我们通过黎曼和来理解：将区域分割成许多小矩形，当矩形数量趋于无穷时，矩形面积之和就趋近于曲线下的精确面积。从物理角度看，积分表示累积量，比如速度对时间的积分得到位移。积分与导数互为逆运算。
微积分基本定理是整个微积分理论的核心，它揭示了导数和积分之间的深刻联系。定理告诉我们，如果F是f的原函数，那么f在区间[a,b]上的定积分等于F(b)减去F(a)。这意味着导数和积分互为逆运算，就像加法和减法、乘法和除法一样。这个定理不仅在理论上统一了微分学和积分学，在实际计算中也提供了计算定积分的有效方法。