解答---``` [General Explanation Section] 由 a² - c² = b², c = ae, 可知, 当 e 越接近于 1 时, c 越接近于 a, b 越接近于 0, 此时椭圆越扁平; 当 e 越接近于 0 时, b/a 越接近于 1, 此时 b 越接近于 a, 椭圆就越接近于圆. 椭圆的离心率可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下, 两个焦点离开中心 的程度, 这样的规定会给今后研究圆锥曲线的性质带来方便. 可以形 为 e 越接 圆越"胖 圆; e 越接 圆越"瘦 越扁. 应试拓展注意 [Section Title] 拓展 1 椭圆定义的应广与推广 [Content under 拓展 1] 1. 利用椭圆的定义求椭圆的方程时, 要善于识别椭圆的定义, 快速写出椭圆 的标准方程. [Example 1] 例 1 如果点 P(x, y) 在运动过程中, 总满足关系式 √(x²+(y+3)²) + √(x²+(y-3)²) = 10, 那么点 P 的轨迹是什么曲线? 为什么? 写出它的方程. 解: 因为点 P 的轨迹方程表示动点 P(x, y) 到定点 (0, -3), (0, 3) 的距离之和 为 10, 又 10 > 3 - (-3), 所以点 P 的轨迹为椭圆, 其标准方程为 y²/25 + x²/16 = 1. 2. 椭圆的第二定义: 平面内动点 M 与定点 F 的距离和它到定直线 l (定点不 在定直线上) 的距离之比等于常数 e (0 < e < 1) 的轨迹叫做椭圆. 定点 F 叫做椭圆的 一个焦点, 定直线 l 叫做椭圆的一条准线, 常数 e 叫做椭圆的离心率. [Example 2] 例 2 动点 M(x, y) 与定点 F(2, 0) 的距离和它到定直线 x = 8 的距离 d 的比 是 1:2, 求动点 M 的轨迹方程. 解: 由题意得 |MF| / d = 1/2, 即 √(x-2)²+y² / |8-x| = 1/2, 化简可得动点 M 的轨迹方程为 x²/16 + y²/12 = 1. 3. 与两定点 A₁(-a, 0), A₂(a, 0) (a ≠ 0) 连线的斜率之积为 -b²/a² 或 e² - 1 (0 < e < 1) 的点的轨迹为椭圆 (不含 A₁, A₂ 两点). [Section Title] 拓展 2 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 [Content under 拓展 2] 1. 作判断: 根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上. ```