给出解答过程---已知函数 $f(x) = \ln(1+x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3$, 其中 $0 < k < \frac{1}{3}$. (1) 证明: $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点. (2) 设 $x_1, x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 的极值点和零点. (i) 设函数 $g(t) = f(x_1 t) - f(x_1, -t)$, 证明: $g(t)$ 在区间 $(0, x_1)$ 单调递减; (ii) 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小, 并证明你的结论.

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这是一个关于函数极值点和零点存在性的证明问题。给定函数包含对数项、多项式项和参数k。我们需要通过导数分析来证明在正实数区间上存在唯一的极值点和零点，并研究它们之间的关系。 首先计算函数的导数。对f(x)求导得到f'(x)等于1除以1加x，减1，加x，减3kx的平方。令导数等于零，通分整理后得到x的平方乘以1减3k减3kx，除以1加x等于零。由于x大于0，所以极值点满足1减3k减3kx等于零，解得x1等于1减3k除以3k。 通过分析导数的符号变化，我们发现当x在0到x1之间时，导数大于0，函数单调递增；当x大于x1时，导数小于0，函数单调递减。因此x1是唯一的极大值点。由于f(0)等于0，且当x趋于正无穷时函数值趋于负无穷，根据介值定理，在x1右侧存在唯一零点x2。 现在分析函数g(t)等于f(x1加t)减去f(x1减t)的性质。计算g'(t)等于f'(x1加t)加上f'(x1减t)。通过复杂的代数运算，可以证明当t在0到x1区间内时，g'(t)小于0，因此g(t)在此区间单调递减。这个结论对后续比较2x1与x2的大小关系很重要。