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M/M/1模型是运筹学排队论中最基本、最简单的排队模型。它描述了一个具有单个服务台的排队系统，顾客按照泊松过程到达，服务时间服从指数分布。这个模型广泛应用于银行柜台、维修服务等场景的分析。
M/M/1模型使用Kendall记号来描述。第一个M表示顾客到达过程服从泊松分布，到达率用λ表示。第二个M表示服务时间服从指数分布，服务率用μ表示。最后的1表示系统中只有一个服务台。这种记号简洁地概括了排队系统的关键特征。
M/M/1模型有几个重要的基本假设。首先，队列容量是无限的，顾客可以无限排队。其次，采用先到先服务的排队规则。最重要的是，系统必须处于稳态，这要求服务强度ρ等于λ除以μ必须小于1。当ρ大于等于1时，系统将变得不稳定，队列长度会无限增长。
排队论是运筹学中研究排队现象的数学理论。它分析顾客到达服务系统、等待服务、接受服务然后离开的整个过程。排队论帮助我们理解和优化各种服务系统，如银行、医院、通信网络等。
M/M/1模型是排队论中最基础的模型。第一个M表示顾客按照泊松过程到达，到达率为λ。第二个M表示服务时间服从指数分布，服务率为μ。数字1表示只有一个服务台。为了系统稳定，必须满足λ小于μ的条件。
M/M/1系统可以用状态转移图来描述。每个状态n表示系统中有n个顾客。当有新顾客到达时，系统从状态n转移到状态n+1，转移率为λ。当服务完成时，系统从状态n转移到状态n-1，转移率为μ。这是一个典型的生灭过程。
M/M/1模型在稳态下有一系列重要的性能指标公式。服务强度ρ等于到达率除以服务率。系统空闲概率P₀等于1减去ρ。系统中平均顾客数L等于ρ除以1减去ρ。队列中平均顾客数Lq等于ρ的平方除以1减去ρ。顾客在系统中的平均停留时间W等于1除以μ减去λ。顾客在队列中的平均等待时间Wq等于λ除以μ乘以μ减去λ。
让我们通过一个银行服务的实例来应用M/M/1模型。假设银行单窗口，顾客到达率为每小时3人，服务率为每小时4人。计算得出服务强度为0.75，系统空闲概率为25%，平均系统中有3个顾客，平均等待时间为45分钟。这些指标帮助银行优化服务配置。
M/M/1模型广泛应用于银行柜台、医院挂号、超市收银、呼叫中心和网络服务器等场景。它的优势在于数学公式简洁、计算结果精确、理论基础扎实。关键公式包括服务强度ρ、平均顾客数L和平均等待时间W。但模型也有局限性，假设条件较严格，实际系统往往更复杂，需要扩展到多服务台的M/M/c模型等。