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**Section Title:** 第十九章 一次函数 (Chapter 19 Linear Functions)
**(Preceding text, related to linear inequalities)**
在直线 y=3x+2 上选取坐标满足大于 2、小于 0、小于 -1 的点, 看它们的横坐标分别满足什么条件 (图 19.2-7).
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 ax+b > 0 或 ax+b < 0 (a≠0) 的形式, 所以解一元一次不等式相当于在某一次函数 y=ax+b 的函数值大于 0 或小于 0 时, 求自变量 x 的取值范围.
最后, 我们从函数的角度看解二元一次方程组.
**Problem 1**
3 探究气球从海拔 5 m 处出发, 以 1 m/min 的速度上升. 与此同时, 2 号探空气球从海拔 15 m 处出发, 以 0.5 m/min 的速度上升. 两个气球都上升了 1 h.
(1) 用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y (单位: m) 关于上升时间 x (单位: min) 的函数关系;
(2) 在某个时刻两个气球能否位于同一高度? 如果能, 这时气球上升了多长时间? 位于什么高度?
**Analysis:**
分析: (1) 气球上升时间 x 满足 0 ≤ x ≤ 60.
对于 1 号气球, y 关于 x 的函数解析式为 y=x+5.
对于 2 号气球, y 关于 x 的函数解析式为 y=0.5x+15.
(2) 在某个时刻两个气球位于同一高度, 就是说对于 x 的某个值 (0 ≤ x ≤ 60), 函数 y=x+5 和 y=0.5x+15 有相同的 y 值. 如能求出这个 x 和 y, 则问题得到解决. 由此容易想到解二元一次方程组.
**Solution:**
解得 { x=20, y=25.
这就是说, 当上升 20 min 时, 两个气球都位于海拔 25 m 的高度.
我们也可以用一次函数的图像解释上述问题的解答. 如图 19.2-8, 在同一平面直角坐标系中, 画出一次函数 y=x+5 和 y=0.5x+15 的图像. 这两条直线的交点坐标为 (20, 25), 这也说明当上升 20 min 时, 两个气球都位于海拔 25 m 的高度.
一般地, 因为每个含有未知数 x 和 y 的二元一次方程, 都可以改写为 y=kx+b (k, b 是常数, k≠0) 的形式, 所以每个这样的方程都对应一个一次函数, 于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标 (x, y) 都是这个二元一次方程的解.
由上可知, 由含有未知数 x 和 y 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组, 都对应两个一次函数, 于是也对应两条直线. 从“数”的角度看, 解这样的方程组, 相当于求自变量为何值时对应的两个函数值相等, 以及这个函数值是多少; 从“形”的角度看, 解这样的方程组, 相当于确定两条相应直线的交点的坐标. 因此, 我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解.
**Summary (归纳):**
方程 (组) 与函数之间相互联系. 从函数的角度可以把它们统一起来. 解决问题时, 应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.
**Exercise (练习):**
考虑下面两种移动电话计费方式:
(Table follows)
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.
**Table Content:**
| | 方式一 (元/月) | 方式二 (元/月) |
| :---------- | :------------- | :------------- |
| 月租费/(元/月) | 30 | 0 |
| 本地通话费/(元/min) | 0.30 | 0.40 |
**Practice Problem 19.2 (习题 19.2):**
**复习巩固 (Review Consolidation)**
1. 一列火车以 90 km/h 的速度匀速前进. 它的行驶路程 s (单位: km) 关于行驶时间 t (单位: h) 的函数解析式, 并画出函数图像.
2. 函数 y=-5x 的图像在第 \_\_\_\_ 象限内, 经过点 (0, \_\_\_\_) 与点 (1, \_\_\_\_), y 随 x 的增大而 \_\_\_\_.
**Mathematical Formulas/Equations:**
y=3x+2
y=x+5
y=0.5x+15
{ y=x+5, y=0.5x+15.
即 { x-y=-5, 0.5x-y=-15.
解得 { x=20, y=25.
y=-5x
s=90t (Implied in Problem 1 of Review Consolidation)
**Chart/Diagram Description:**
**Figure 19.2-7:**
* **Type:** Line chart on a Cartesian coordinate system.
* **Coordinate Axes:** X-axis and Y-axis intersecting at the origin O(0,0).
* **Line:** A straight line represented by the equation y = 3x + 2.
* **Points:** Point O (origin), Point P on the line y=3x+2 with coordinates approximately (-1, -1). Other points labeled on axes are -1 on the X-axis, 2 on the Y-axis.
**Figure 19.2-8:**
* **Type:** Line chart on a Cartesian coordinate system.
* **Coordinate Axes:** X-axis labeled with scale 0, 20, 40, 60. Y-axis labeled with scale 0, 25, 50. Axes intersect at the origin O(0,0).
* **Lines:** Two straight lines. One is labeled y=x+5, showing an upward trend from the point (0, 5). The other is labeled y=0.5x+15, showing an upward trend from the point (0, 15), with a gentler slope than the first line.
* **Intersection Point:** The two lines intersect at point P, labeled with coordinates (20, 25). This point is annotated next to P.