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要理解为什么正弦函数的导数是余弦函数，我们需要从导数的基本定义出发。观察这两个函数的图像，我们可以看到正弦函数和余弦函数之间存在着密切的关系。余弦函数看起来就像是正弦函数向左平移了π/2的结果。
现在我们从导数的定义开始。函数f(θ)在θ处的导数定义为当h趋近于0时，f(θ+h)减去f(θ)除以h的极限。对于正弦函数，我们需要计算sin(θ+h)减去sin(θ)除以h当h趋近于0时的极限。图中显示了θ和θ+h两点，以及连接它们的割线，当h越来越小时，这条割线的斜率就趋近于正弦函数在θ点的导数。
现在我们使用三角函数的和角公式来展开sin(θ+h)。和角公式告诉我们，sin(A+B)等于sinA乘以cosB加上cosA乘以sinB。因此，sin(θ+h)等于sinθ乘以cosh加上cosθ乘以sinh。将这个展开式代入导数定义中，我们得到分子为sinθ乘以cosh加上cosθ乘以sinh减去sinθ。重新整理后，我们可以将分子写成sinθ乘以括号cosh减1加上cosθ乘以sinh。
现在我们将极限表达式拆分成两部分，并提取与h无关的项。这样我们得到sinθ乘以cosh减1除以h的极限，加上cosθ乘以sinh除以h的极限。接下来我们需要应用两个重要的极限结果。第一个是当h趋近于0时，sinh除以h的极限等于1。第二个是当h趋近于0时，cosh减1除以h的极限等于0。图中显示了这两个函数的图像，可以看到它们分别趋近于1和0。将这两个极限值代入，我们得到sinθ乘以0加上cosθ乘以1，最终结果就是cosθ。
通过严格的数学推导，我们证明了正弦函数的导数确实是余弦函数。这个结果不仅在数学上重要，还有直观的几何意义。观察正弦函数的图像，我们可以看到在任意一点的切线斜率正好等于对应角度的余弦值。当角度变化时，切线斜率也随之变化，完美地对应着余弦函数的值。这就是为什么正弦函数的导数是余弦函数的几何直观解释。