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这是一道关于三角形中动点周长最小值的几何优化问题。题目给出锐角三角形ABC，其中AB等于6，角BAC等于60度，角平分线AD交BC于点D。我们需要在AD和AB上分别找到动点M和N，使得三角形BMN的周长最小。这类问题通常需要运用反射原理来解决。
解决这类周长最小值问题的关键是运用反射原理。我们要使三角形BMN的周长BM加MN加NB最小。由于M在AD上运动，N在AB上运动，我们作点B关于直线AD的对称点B撇。根据反射原理，当B撇、M、N三点共线时，BM加MN等于B撇N，此时达到最小值。
这是一道关于三角形周长最小值的几何优化问题。题目给出锐角三角形ABC，其中AB等于6，角BAC等于60度。AD是角BAC的角平分线，与BC相交于点D。M和N分别是AD和AB上的动点，我们需要求三角形BMN周长的最小值。
解决这个问题的关键是运用反射原理。三角形BMN的周长等于BM加MN加NB。由于N在AB上，NB是AB的一部分。要使周长最小，我们需要使BM加MN最小。根据反射原理，我们可以作点B关于直线AD的对称点B撇，当M、N、B撇三点共线时，BM加MN等于B撇N，此时达到最小值。
为了精确计算，我们建立坐标系。以A为原点，AB为x轴正方向建立直角坐标系。这样A的坐标是原点，B的坐标是(6,0)。由于角BAC等于60度，利用向量的数量积公式，可以求出C点坐标。cos60度等于二分之一，通过计算得到C点坐标为(3根号3, 3)。
接下来求B关于直线AD的对称点B撇。首先写出角平分线AD的方程：y等于根号3乘以x。设B撇的坐标为(x撇, y撇)，根据对称的性质，BB撇的中点必须在直线AD上，且BB撇垂直于AD。通过建立方程组，我们可以求出B撇的坐标为(0, 3根号3)。
最终计算阶段：当M、N、B撇三点共线时，三角形BMN的周长达到最小值。此时的最小值等于BN加上B撇N，也就是B撇到直线AB的距离。由于B撇的坐标是(0, 3根号3)，而直线AB就是x轴，所以距离就是3根号3。因此，三角形BMN周长的最小值是3根号3。
接下来求B关于直线AD的对称点B撇。首先写出角平分线AD的方程：y等于根号3乘以x。设B撇的坐标为(x撇, y撇)，根据对称的性质，BB撇的中点必须在直线AD上，且BB撇垂直于AD。通过建立方程组，我们可以求出B撇的坐标为(0, 3根号3)。
最终计算阶段：当M、N、B撇三点共线时，三角形BMN的周长达到最小值。此时的最小值等于BN加上B撇N，也就是B撇到直线AB的距离。由于B撇的坐标是(0, 3根号3)，而直线AB就是x轴，所以距离就是3根号3。因此，三角形BMN周长的最小值是3根号3。