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我们需要求以原点为圆心、半径为1的圆在第一象限的扇形面积。这个扇形的角度是π/2弧度，也就是90度。我们可以看到这个蓝色区域就是我们要求面积的扇形。
为了计算这个扇形的面积，我们使用极坐标系来描述这个区域。在极坐标系中，任意一点用距离r和角度θ来表示。对于我们的扇形，半径r的范围是从0到1，角度θ的范围是从0到π/2。这样就完整描述了第一象限的扇形区域。
现在我们建立用极坐标表示的面积二重积分。面积A等于对区域D的二重积分。在极坐标系下，面积微元dA等于r乘以dr乘以dθ。因此，我们的积分表达式为：A等于从0到π/2对θ积分，从0到1对r积分，被积函数是r。黄色区域显示了一个典型的面积微元。
现在我们逐步计算这个二重积分。首先计算内层积分，对r从0到1积分。r的积分是r的平方除以2，代入上下限得到二分之一减去0，结果是二分之一。然后计算外层积分，对θ从0到π/2积分。二分之一乘以θ的积分，代入上下限得到二分之一乘以π/2，最终结果是π/4。因此，第一象限扇形的面积等于π/4。
我们得到了最终答案：第一象限扇形的面积等于π/4。我们可以用扇形面积公式来验证这个结果。扇形面积公式是A等于二分之一乘以r的平方乘以θ。代入r等于1，θ等于π/2，得到A等于二分之一乘以1的平方乘以π/2，结果确实是π/4。这证明了我们用二重积分计算的结果是正确的。