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线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间、线性变换和矩阵理论。向量是线性代数的基本对象，可以表示方向和大小。向量之间可以进行加法运算，如图所示的两个向量相加得到第三个向量。
向量空间是满足特定运算规则的向量集合，包括向量加法和数乘运算。线性变换是保持这些运算性质的映射，可以用矩阵来表示。图中展示了一个简单的线性变换，将向量进行旋转和反射，变换矩阵决定了变换的具体形式。
矩阵是线性代数的核心工具，可以进行加法、乘法等运算。矩阵乘法遵循特定的规则，结果矩阵的每个元素是对应行和列的内积。矩阵还可以用来表示和求解线性方程组，通过矩阵运算可以高效地找到方程组的解。
特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av等于λv，那么λ就是特征值，v就是对应的特征向量。特征向量在矩阵变换下只改变长度不改变方向，特征值决定了缩放的倍数。
线性代数在现代科学技术中有着广泛的应用。在计算机图形学中用于三维变换和渲染，在机器学习中用于数据处理和算法优化，在物理学中描述量子力学和电磁场，在工程学中进行结构分析，在经济学中建立数学模型。线性代数已成为现代科学技术不可缺少的数学工具。