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这是一道关于四棱锥高度计算的立体几何题。题目给出了以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱长度分别为4、4、2√2、2√2。我们需要求出这个四棱锥的高。首先建立坐标系，设正方形底面的四个顶点为A、B、C、D，顶点P为四棱锥的顶点。
接下来建立坐标系进行分析。设正方形中心O为原点，则四个顶点的坐标分别为A(-2,-2)、B(2,-2)、C(2,2)、D(-2,2)。由于侧棱PA和PB都等于4，PC和PD都等于2√2，根据对称性，高足Q必须位于AB和CD的垂直平分线上，也就是y轴上。设Q的坐标为(0,q)。
现在建立方程组来求解。首先计算Q到各顶点的距离。Q到A的距离平方为q²-4q+8，Q到C的距离平方为q²+4q+8。根据勾股定理，侧棱长的平方等于高的平方加上底面距离的平方。由PA=4得到h²+q²-4q+8=16，由PC=2√2得到h²+q²+4q+8=8。
现在求解这个方程组。将第一个方程减去第二个方程，得到16减8等于负8q，即8等于负8q，所以q等于负1。将q等于负1代入第二个方程，得到h²加1减4加8等于8，化简得h²加5等于8，所以h²等于3，因此h等于根号3。
通过计算我们得到四棱锥的高为根号3。让我们验证一下答案选项：A是根号2除以2，B是根号3除以2，C是2倍根号3，D是根号3。我们的计算结果与选项D完全吻合。因此，这道题的正确答案是D，四棱锥的高为根号3。