给出解答过程---甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得1分,负者得0分.设每个球甲胜的概率为p(1/2 < p < 1),乙胜的概率为q, p+q=1,且各球的胜负相互独立,对正整数 k ≥ 2,记 p_k 为打完 k 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率, q_k 为打完 k 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率. (1) 求 p_3, p_4 (用 p 示) (2) 若 (p_4 - p_3) / (q_4 - q_3) = 4,求 p: (3) 证明: 对任意正整数 m, p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}.

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这是一个关于乒乓球练习的概率问题。甲、乙两人进行练习，每个球胜者得1分，负者得0分。甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，且p加q等于1。我们需要分析打完k个球后，甲比乙至少多得2分的概率p_k，以及乙比甲至少多得2分的概率q_k。 现在我们来求解第一题。首先定义得分差D_k等于甲的得分减去乙的得分，也就是2倍甲的得分减去k。对于k等于3的情况，p_3表示甲比乙至少多得2分的概率，即D_3大于等于2。由于D_3只能取-3、-1、1、3这些值，所以p_3等于D_3等于3的概率，也就是甲赢得所有3个球的概率p的3次方。对于k等于4的情况，p_4等于D_4等于2或4的概率之和。经过计算，最终得到p_3等于p的3次方，p_4等于4p的3次方减去3p的4次方。 现在求解第二题。根据题目条件，p₄减p₃与q₄减q₃的比值等于4。首先我们需要计算q₃和q₄的值。q₃等于q的3次方，q₄等于q的4次方加4pq的3次方。然后计算差值，p₄减p₃等于3p³q，q₄减q₃等于3pq³。将这些代入条件得到p²除以q²等于4，因此p除以q等于2。结合p加q等于1的约束条件，解得p等于三分之二。 现在证明第三题的不等式。我们需要证明对任意正整数m，p_{2m+1}减q_{2m+1}小于p_{2m}减q_{2m}，且p_{2m}减q_{2m}小于p_{2m+2}减q_{2m+2}。证明的关键是利用得分差的转移性质。当k为偶数时，得分差只能取偶数值；当k为奇数时，只能取奇数值。对于从2m到2m+1的转移，由于P_{2m}(1)和P_{2m}(-1)都等于0，我们可以计算出差值的变化。经过计算，由于p大于q，所以p_{2m+1}减q_{2m+1}小于p_{2m}减q_{2m}。 继续证明第二个不等式。对于从2m+1到2m+2的转移，由于2m+1时得分差只能取奇数值，所以P_{2m+1}(2)和P_{2m+1}(-2)都等于0。计算p_{2m+2}减q_{2m+2}与p_{2m+1}减q_{2m+1}的差值，得到C(2m+1, m+1)乘以p^m q^m乘以(p²减q²)。由于p大于q，所以p²大于q²，这个表达式大于0。因此p_{2m+1}减q_{2m+1}小于p_{2m+2}减q_{2m+2}。综合两个不等式，我们完成了整个证明。