求解答选择题---**Question Stem:** 双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，左、右顶点分别为 $A_1, A_2$，以 $F_1F_2$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M,N$ 两点，且 $\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}$，则 **Options:** A. $\angle A_1MA_2 = \frac{\pi}{6}$ B. $|MA_1| = 2|MA_2|$ C. $C$ 的离心率为 $\sqrt{13}$ D. 当 $a=\sqrt{2}$ 时，四边形 $NA_1MA_2$ 的面积为 $8\sqrt{3}$

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这是一道关于双曲线与圆交点的选择题。题目给出双曲线方程，以及焦点F₁F₂为直径的圆与渐近线的交点M、N，并且角NA₁M等于五π六分之一。我们需要根据这些条件来判断哪个选项正确。 首先确定双曲线的关键点坐标。左右焦点分别为F₁负c零和F₂c零，其中c的平方等于a的平方加b的平方。左右顶点分别为A₁负a零和A₂a零。双曲线的渐近线方程为y等于正负b比a乘以x。以F₁F₂为直径的圆，圆心在原点，半径为c，方程为x的平方加y的平方等于c的平方。 现在求圆与渐近线的交点。选择渐近线y等于b比a乘以x，将其代入圆的方程x的平方加y的平方等于c的平方。经过化简得到x的平方等于a的平方，所以x等于正负a。当x等于a时，y等于b，得到交点M坐标为a逗号b。当x等于负a时，y等于负b，得到交点N坐标为负a逗号负b。 利用角度条件∠NA₁M等于5π/6来建立关于a和b的关系。计算向量A₁N等于零逗号负b，向量A₁M等于2a逗号b。根据向量夹角公式，余弦值等于向量点积除以模长乘积。经过计算得到余弦5π/6等于负根号3除以2。通过等式化简，最终得到b的平方等于12倍a的平方。 现在验证选项A。由b的平方等于12a的平方，得到b等于2根号3倍a。在直角三角形A₁MA₂中，A₁A₂的长度为2a，A₂M的长度为b等于2根号3倍a。角A₁MA₂的正切值等于2a除以2根号3倍a，等于根号3分之一。因此角A₁MA₂等于π除以6。选项A正确！