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我们要计算积分 ∫ dx / √(x² + a²)。这是一个经典的积分形式，被积函数是 1 除以 √(x² + a²)。从几何角度看，这个函数图像是一个双曲线的一部分。要计算这个积分，我们需要使用三角代换的方法。
为了计算这个积分，我们使用三角代换。令 x 等于 a 乘以 tan θ，那么 dx 就等于 a sec² θ dθ。通过直角三角形可以看出，当对边为 x，邻边为 a 时，斜边就是 √(x² + a²)。根据三角函数定义，tan θ 等于 x 除以 a，sec θ 等于斜边除以邻边。
现在我们将三角代换代入原积分。首先将 x 等于 a tan θ 和 dx 等于 a sec² θ dθ 代入。然后化简根号下的表达式：x² + a² 变成 a² tan² θ + a²，提取公因子 a² 得到 a² 乘以括号 tan² θ + 1。利用三角恒等式 tan² θ + 1 等于 sec² θ，我们得到 a² sec² θ。开根号后得到 a sec θ。最终积分化简为 ∫ sec θ dθ。
现在我们需要计算 ∫ sec θ dθ。这个积分的结果是 ln|sec θ + tan θ| + C。接下来将结果换回原变量 x。由于 tan θ 等于 x/a，sec θ 等于 √(x² + a²)/a，我们将这些代入得到 ln|(√(x² + a²) + x)/a| + C。利用对数性质可以写成 ln|x + √(x² + a²)| - ln|a| + C。由于 ln|a| 是常数，可以并入积分常数 C 中，最终得到 ln|x + √(x² + a²)| + C。
让我们总结一下完整的解题过程。我们从积分 ∫ dx/√(x² + a²) 开始，使用三角代换 x = a tan θ，将积分转化为 ∫ sec θ dθ，然后计算得到 ln|sec θ + tan θ| + C，最后换回原变量得到最终答案：ln|x + √(x² + a²)| + C。我们可以通过求导来验证这个结果的正确性。这个公式是微积分中的一个重要结果，在许多数学和物理问题中都会用到。