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今天我们来学习基本不等式。基本不等式是数学中一个非常有用的工具，特别是在求表达式的最大值或最小值时。对于任意两个非负数a和b，我们有：a加b大于等于2倍根号ab。当且仅当a等于b时等号成立。
现在我们来看第一个例题。已知x大于0，求函数y等于x加4除以x的最小值。我们可以使用基本不等式来解决。因为x大于0，所以x和4除以x都是非负数。根据基本不等式，x加4除以x大于等于2倍根号下x乘以4除以x。计算得到x乘以4除以x等于4，所以x加4除以x大于等于4。当x等于2时取得最小值4。
接下来看第二个例题。已知x大于0，y大于0，且x加y等于10，求xy的最大值。这是和为常数求积的最大值问题。根据基本不等式，x加y大于等于2倍根号xy。代入x加y等于10，得到10大于等于2倍根号xy，所以5大于等于根号xy，平方后得到25大于等于xy。当x等于y等于5时，xy取得最大值25。
第三个例题需要变形技巧。已知x大于1，求函数y等于x加1除以x减1的最小值。这里不能直接使用基本不等式，需要先变形。我们将x写成x减1加1，所以原函数变成x减1加1加1除以x减1。现在对x减1和1除以x减1使用基本不等式，它们的乘积等于1，所以和大于等于2。因此y大于等于3，当x等于2时取得最小值3。
今天我们来学习基本不等式。基本不等式是数学中一个非常重要的不等式，它告诉我们：对于两个非负数a和b，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。用公式表示就是：a加b大于等于2倍根号ab。当且仅当a等于b时取等号。这个不等式在求最大值和最小值问题中有广泛应用。
我们来看第一个例题。已知x大于0，求函数y等于x加4除以x的最小值。这是一个典型的使用基本不等式求最值的问题。观察函数形式，我们有两项相加。根据基本不等式，x加4除以x大于等于2倍根号x乘以4除以x。化简得到2倍根号4等于4。所以y大于等于4。等号成立的条件是x等于4除以x，即x的平方等于4，所以x等于2。因此，当x等于2时，函数取得最小值4。
第二个例题：已知x大于0，y大于0，且xy等于25，求x加y的最小值。这是积为常数，求和的最小值的典型问题。我们使用基本不等式：x加y大于等于2倍根号xy。代入xy等于25，得到x加y大于等于2倍根号25等于10。等号成立的条件是x等于y。结合xy等于25，得到x的平方等于25，所以x等于y等于5。因此，x加y的最小值为10。
第三个例题展示了变形技巧的应用。已知x大于1，求y等于x加1除以x减1的最小值。注意这里不能直接使用基本不等式，因为x和1除以x减1的乘积不是常数。我们需要变形：设t等于x减1，则t大于0，x等于t加1。原式变为y等于t加1加1除以t，即t加1除以t加1。对t加1除以t使用基本不等式，得到t加1除以t大于等于2。所以y大于等于3。等号成立条件是t等于1，即x等于2。因此最小值为3。
通过这三个例题，我们掌握了基本不等式的应用技巧。关键是要识别题目类型：积为常数时求和的最小值，和为常数时求积的最大值。使用时要确保两项都是非负数，等号成立的条件是两项相等。有时需要变形技巧，比如配凑使乘积为常数。记住口诀：一正二定三相等。基本不等式是求最值问题的重要工具，多练习就能熟练掌握！