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这是一道关于等比数列的问题。已知等比数列的首项a₁等于1，公比q大于0，前三项和S₃等于第三项的7倍。我们需要利用等比数列的通项公式和前n项和公式来求解公比q的值。
现在我们开始建立方程。首先，根据等比数列通项公式，第三项a₃等于a₁乘以q的平方，即q的平方。然后，前三项和S₃等于1加q加q的平方。根据题目条件S₃等于7倍的a₃，我们得到方程：1加q加q的平方等于7倍的q的平方。整理后得到6q的平方减q减1等于0。
现在我们来解这个二次方程6q²减q减1等于0。使用因式分解法，我们可以将其分解为括号3q加1乘以括号2q减1等于0。这样得到3q加1等于0或者2q减1等于0，解得q等于负三分之一或者q等于二分之一。由于题目条件q大于0，所以我们选择正数解，即q等于二分之一。
现在我们来验证各个选项。选项A，q等于二分之一，这正是我们求得的结果，所以选项A正确。选项B，a₅等于1乘以二分之一的四次方，等于十六分之一，而选项B给出的是九分之一，所以错误。选项C，S₅等于三十一分之十六，而选项C给出的是8，也是错误的。因此正确答案是A。
总结一下这道题的解题过程。我们首先利用等比数列的通项公式和前n项和公式，建立了方程S₃等于7a₃。通过化简得到6q²减q减1等于0的二次方程。使用因式分解法求解，得到两个解：负三分之一和二分之一。根据题目条件q大于0，我们选择q等于二分之一。因此正确答案是选项A。