编写数学动画，现在以附件的形式给你一道高考数学题，请你给出详细的解答过程，最后给出标准答案。因为你面对的是小学生群体，所以你要尽可能的详细，动画要简洁生动。---19. (1) 设函数 $f(x) = 5 \cos x - \cos 5x$, 求 $f(x)$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 最大值; (2) 给定 $\theta \in (0, \pi)$, 设 $a$ 为实数, 证明: 存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$, 使得 $\cos y \leq \cos \theta$; (3) 若存在 $\varphi$ 使得对任意 $x$, 都有 $5 \cos x - \cos (5x + \varphi) \leq b$, 求 $b$ 的最小值.

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今天我们来解决一道高考数学题。这道题考查三角函数的性质和应用。题目给出函数 f(x) = 5cos x - cos 5x，要求我们在区间 [0, π/4] 上找到它的最大值。我们先来观察这个函数的图像，可以看到它在给定区间内的变化趋势。 为了求函数的最大值，我们需要对函数求导。f(x) = 5cos x - cos 5x 的导数是 f'(x) = -5sin x + 5sin 5x。令导数等于零，得到 sin 5x = sin x。我们需要在区间 [0, π/4] 内找到满足这个方程的点，然后比较这些临界点和端点处的函数值。 现在我们计算关键点的函数值。在 x = 0 处，f(0) = 5cos(0) - cos(0) = 5 - 1 = 4。在 x = π/4 处，f(π/4) = 5cos(π/4) - cos(5π/4) = 5倍根号2除以2 加上 根号2除以2，等于 3倍根号2。由于 3倍根号2 约等于 4.24，大于 4，所以函数在区间 [0, π/4] 上的最大值是 3倍根号2。 第二问要求我们证明一个存在性命题。给定角度θ在0到π之间，对于任意实数a，我们要证明在区间[a-θ, a+θ]内必定存在一个y值，使得cos y小于等于cos θ。证明的关键在于观察区间的长度。当θ大于等于π/2时，区间长度至少为π，这样的区间必定包含余弦函数的最小值点，因此结论成立。