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二次函数是形如 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a 不等于零。二次函数的图像是一条抛物线，它的极值出现在顶点处。当系数 a 大于零时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值。当 a 小于零时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值。
要找到二次函数的极值，我们需要确定顶点的坐标。对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，顶点的横坐标公式是 x = -b/(2a)。将这个 x 值代入原函数，就能得到顶点的纵坐标，也就是函数的极值。我们也可以直接使用公式 y = c - b²/(4a) 来计算极值。
让我们通过一个具体例子来演示如何求二次函数的极值。对于函数 f(x) = 2x² - 8x + 6，我们首先确定系数：a = 2，b = -8，c = 6。由于 a = 2 大于零，这个函数有最小值。使用顶点公式，x = -(-8)/(2×2) = 2。将 x = 2 代入原函数得到 y = -2。因此，函数的最小值是 -2，在 x = 2 处取得。
现在我们来看开口向下的二次函数。对于函数 f(x) = -x² + 4x - 1，系数 a = -1 小于零，所以抛物线开口向下，函数有最大值。使用顶点公式计算：x = -4/(2×(-1)) = 2。将 x = 2 代入原函数得到 y = 3。因此，函数的最大值是 3，在 x = 2 处取得。这与开口向上的情况正好相反。
总结一下二次函数求极值的方法：首先确定二次函数的系数 a、b、c；然后判断系数 a 的正负，如果 a 大于零则有最小值，如果 a 小于零则有最大值；接着使用公式 x = -b/(2a) 计算顶点的横坐标；最后使用公式 y = c - b²/(4a) 直接计算出函数的极值。掌握这个方法，就能快速求出任意二次函数的极值。