视频字幕
实数是数学中最重要的数系之一。它包括了所有的有理数，比如整数、分数，以及所有的无理数，比如圆周率π和自然对数的底e。实数的一个重要特征是它们可以与数轴上的点建立一一对应的关系，这意味着数轴上的每一个点都代表一个实数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。有理数包括所有的整数，比如负2、0、2，也包括所有的分数，比如负五分之二、四分之三。有理数还包括有限小数和无限循环小数，比如0.75等于四分之三，0.333循环等于三分之一。
无理数是不能表示为两个整数之比的数。它们的十进制表示是无限不循环小数，永远不会重复。最著名的无理数包括根号2，约等于1.414，圆周率π，约等于3.14159，以及自然对数的底e，约等于2.718。这些数的小数部分会无限延续下去，没有任何规律可循。
实数最重要的特征是它们与数轴上的点建立了一一对应的关系。每一个实数都对应数轴上唯一的一个点，反过来，数轴上的每一个点也对应唯一的一个实数。这意味着实数具有连续性，它们填满了整个数轴，没有任何空隙。实数还具有稠密性，在任意两个实数之间，都存在无穷多个其他实数。
实数在数学和科学的各个领域都有重要应用。在几何中，我们用实数来测量长度、面积和体积。在物理学中，实数描述连续变化的物理量，如时间、速度和温度。在工程和经济学中，实数用于精确计算和建模。总结一下，实数包括有理数和无理数，与数轴建立一一对应关系，是现代数学分析的重要基础。