视频字幕
等价关系是抽象代数中的基础概念。它是定义在集合上的一种特殊二元关系，必须同时满足三个性质：自反性、对称性和传递性。自反性要求每个元素都与自身等价。对称性要求如果a与b等价，那么b也与a等价。传递性要求如果a与b等价且b与c等价，那么a也与c等价。
让我们看一个具体的例子：整数集合上的模3同余关系。两个整数a和b模3同余，当且仅当它们的差能被3整除。我们可以验证这确实是等价关系：自反性成立因为任何数与自身的差为0能被3整除；对称性成立因为如果a减b能被3整除，那么b减a也能被3整除；传递性也成立。这个关系将所有整数分成三个等价类。
等价类是等价关系的核心概念。给定集合S中的任意元素a，它的等价类是所有与a等价的元素组成的子集。等价类有三个重要性质：首先，每个元素都属于且仅属于一个等价类；其次，任意两个等价类要么完全相等，要么完全不相交；最后，所有等价类的并集恰好等于原集合。这意味着等价关系将原集合划分成若干个互不相交的子集。