Transformaciones de funciones cuadráticas: Teoría, Ejemplos y Ejercicios
Teoría esencial
Una función cuadrática es una función de la forma general
f
(
x
)
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
f(x)=a(x−h)
2
+k, donde
a
≠
0
a
=0. Su gráfica es una parábola, una curva en forma de “U” que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de
a
a.
Las constantes
a
a,
h
h y
k
k controlan las siguientes transformaciones de la parábola:
a
a: Ajusta la apertura y la dirección de la parábola. Si
a
>
0
a>0, la parábola se abre hacia arriba; si
a
<
0
a<0, se abre hacia abajo. Valores de
∣
a
∣
>
1
∣a∣>1 la hacen más “estrecha” (ajuste vertical), mientras que
0
<
∣
a
∣
<
1
0<∣a∣<1 la hacen más “ancha” (reducción vertical).
h
h: Desplaza la parábola horizontalmente. Si
h
>
0
h>0, la parábola se mueve hacia la derecha; si
h
<
0
h<0, hacia la izquierda.
k
k: Desplaza la parábola verticalmente. Si
k
>
0
k>0, la parábola sube; si
k
<
0
k<0, baja.
El vértice de la parábola está en el punto
(
h
,
k
)
(h,k).
Tipos de transformaciones
Traslaciones horizontales:
f
(
x
)
→
f
(
x
−
h
)
f(x)→f(x−h)
Traslaciones verticales:
f
(
x
)
→
f
(
x
)
+
k
f(x)→f(x)+k
Reflexión en el eje x:
f
(
x
)
→
−
f
(
x
)
f(x)→−f(x)
Ajuste/reducción vertical:
f
(
x
)
→
a
f
(
x
)
f(x)→af(x)
Ajuste/reducción horizontal:
f
(
x
)
→
f
(
a
x
)
f(x)→f(ax)
Ejemplos de transformaciones
Ejemplo 1: Traslación y ajuste vertical
Considera la función
g
(
x
)
=
2
(
x
−
3
)
2
+
1
g(x)=2(x−3)
2
+1:
a
=
2
a=2: La parábola es más estrecha y se abre hacia arriba.
h
=
3
h=3: Se traslada 3 unidades a la derecha.
k
=
1
k=1: Se traslada 1 unidad hacia arriba.
El vértice está en
(
3
,
1
)
(3,1).
Ejemplo 2: Reflexión y reducción vertical
Para
g
(
x
)
=
−
1
2
(
x
+
4
)
2
−
2
g(x)=−
2
1
(x+4)
2
−2:
a
=
−
1
2
a=−
2
1
: La parábola se abre hacia abajo y es más ancha.
h
=
−
4
h=−4: Se traslada 4 unidades a la izquierda.
k
=
−
2
k=−2: Se traslada 2 unidades hacia abajo.
El vértice está en
(
−
4
,
−
2
)
(−4,−2).
Ejemplo 3: Combinación de transformaciones
Supón
f
(
x
)
=
x
2
f(x)=x
2
y quieres una parábola que sea reflejada en el eje x, ajustada verticalmente por un factor de 3, y trasladada 2 unidades hacia arriba:
Reflexión y ajuste:
−
3
x
2
−3x
2
Traslación vertical:
−
3
x
2
+
2
−3x
2
+2
La función resultante es
g
(
x
)
=
−
3
x
2
+
2
g(x)=−3x
2
+2, con vértice en
(
0
,
2
)
(0,2).
Ejercicios propuestos
Describe la transformación y encuentra el vértice de cada función cuadrática:
g
(
x
)
=
(
x
+
2
)
2
−
5
g(x)=(x+2)
2
−5
g
(
x
)
=
−
4
(
x
−
1
)
2
g(x)=−4(x−1)
2
g
(
x
)
=
1
3
x
2
+
7
g(x)=
3
1
x
2
+7
g
(
x
)
=
(
2
x
)
2
−
3
g(x)=(2x)
2
−3
g
(
x
)
=
−
x
2
+
4
x
−
1
g(x)=−x
2
+4x−1 (reescribe en forma de vértice antes de analizar)
Relaciona cada función con su transformación respecto a
f
(
x
)
=
x
2
f(x)=x
2
:
Función Transformación
g
(
x
)
=
x
2
−
6
g(x)=x
2
−6 A. Traslación 6 unidades hacia abajo
g
(
x
)
=
(
x
−
4
)
2
g(x)=(x−4)
2
B. Traslación 4 unidades a la derecha
g
(
x
)
=
−
2
x
2
g(x)=−2x
2
C. Reflexión en eje x y ajuste vertical por 2
g
(
x
)
=
(
x
+
1
)
2
+
3
g(x)=(x+1)
2
+3 D. Traslación 1 unidad a la izquierda y 3 hacia arriba
Problema de aplicación
La altura
h
h (en metros) de un objeto lanzado al aire se modela por
h
(
x
)
=
−
0.1
x
2
+
2
x
+
1
h(x)=−0.1x
2
+2x+1, donde
x
x es el tiempo en segundos.
Si el objeto es lanzado desde una plataforma 5 metros más alta, ¿cuál es la nueva función?
Si el objeto se lanza con la misma velocidad pero desde una posición 3 segundos después, ¿cómo cambia la función?
Respuestas orientativas
g
(
x
)
=
(
x
+
2
)
2
−
5
g(x)=(x+2)
2
−5: Traslada 2 unidades a la izquierda y 5 hacia abajo. Vértice en
(
−
2
,
−
5
)
(−2,−5).
g
(
x
)
=
−
4
(
x
−
1
)
2
g(x)=−4(x−1)
2
: Refleja en el eje x, ajusta verticalmente por 4, traslada 1 a la derecha. Vértice en
(
1
,
0
)
(1,0).
g
(
x
)
=
1
3
x
2
+
7
g(x)=
3
1
x
2
+7: Reduce verticalmente por
1
3
3
1
, traslada 7 hacia arriba. Vértice en
(
0
,
7
)
(0,7).
g
(
x
)
=
(
2
x
)
2
−
3
=
4
x
2
−
3
g(x)=(2x)
2
−3=4x
2
−3: Ajuste vertical por 4, traslada 3 hacia abajo. Vértice en
(
0
,
−
3
)
(0,−3).
g
(
x
)
=
−
x
2
+
4
x
−
1
g(x)=−x
2
+4x−1: Completa el cuadrado para obtener la forma de vértice y analiza.
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答案文本
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Las funciones cuadráticas son fundamentales en matemáticas. Su forma general es f de x igual a a por x menos h al cuadrado más k, donde a es diferente de cero. La gráfica es una parábola. Los parámetros a, h y k controlan diferentes transformaciones: a determina la apertura y dirección, h el desplazamiento horizontal, y k el vertical. El vértice se ubica en el punto h, k.
El parámetro a determina la forma y dirección de la parábola. Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo. Cuando el valor absoluto de a es mayor que uno, la parábola se vuelve más estrecha. Cuando está entre cero y uno, se hace más ancha. Observemos cómo cambia la parábola g de x igual a a por x menos uno al cuadrado más uno cuando modificamos el valor de a.
Los parámetros h y k controlan los desplazamientos de la parábola. El parámetro h mueve la parábola horizontalmente: valores positivos la desplazan hacia la derecha, valores negativos hacia la izquierda. El parámetro k la mueve verticalmente: valores positivos hacia arriba, negativos hacia abajo. El vértice de la parábola transformada se ubica exactamente en el punto h, k. Observemos cómo se desplaza la parábola.
Veamos un ejemplo completo de transformaciones. La función g de x igual a 2 por x menos 3 al cuadrado más 1 combina todas las transformaciones. El parámetro a igual a 2 hace que la parábola sea más estrecha y abra hacia arriba. El parámetro h igual a 3 la desplaza 3 unidades hacia la derecha. El parámetro k igual a 1 la mueve 1 unidad hacia arriba. El vértice resultante se encuentra en el punto 3, 1.
Resolvamos un ejercicio práctico. Dada la función g de x igual a menos x al cuadrado más 4x menos 1, necesitamos encontrar su forma de vértice completando el cuadrado. Primero factorizamos menos 1 de los términos con x. Luego completamos el cuadrado sumando y restando 4. Finalmente obtenemos g de x igual a menos por x menos 2 al cuadrado más 3. El vértice está en el punto 2, 3.