视频字幕
我们来解这道代数问题。已知条件是 m 的平方减去 n 的平方等于 9，以及 m 乘以 n 等于 20。我们需要求出 5m 加 7n 的值。让我们先分析这两个已知条件，然后找到解题的突破口。
现在让我们分析已知条件。第一个条件 m²-n²=9 可以利用平方差公式进行分解。平方差公式告诉我们 a²-b²=(a+b)(a-b)，所以 m²-n²=(m+n)(m-n)=9。结合第二个条件 mn=20，我们现在有了两个重要的关系式。
接下来我们需要巧妙地求出 m+n 和 m-n 的值。设 m+n = u，m-n = v，则 uv = 9。我们利用完全平方公式：(m+n)² = m²+2mn+n²，(m-n)² = m²-2mn+n²。两式相减得到 (m+n)²-(m-n)² = 4mn = 80，即 u²-v² = 80。
现在我们有两个方程：uv = 9 和 u²-v² = 80。利用平方差公式，u²-v² = (u+v)(u-v) = 80。设 u+v = a，u-v = b，则 ab = 80。同时，uv = 9 给出 a²-b² = 36。解这个方程组得到 a = 10, b = 8，因此 u = 9, v = 1。最后，5m+7n = 6u-v = 6×9-1 = 53。
接下来我们使用一个重要的恒等式来求解。利用恒等式 (m²+n²)² = (m²-n²)² + 4(mn)²，代入已知条件：(m²+n²)² = 9² + 4×20² = 81 + 1600 = 1681。因此 m²+n² = 41。现在我们有了 m²+n²=41 和 m²-n²=9 两个方程。
现在我们有了方程组：m²+n²=41 和 m²-n²=9。解这个方程组很简单。两式相加得到 2m²=50，所以 m²=25，因此 m=±5。两式相减得到 2n²=32，所以 n²=16，因此 n=±4。
现在我们需要结合条件 mn=20 来确定有效的解。当 m=5, n=4 时，mn=20，符合条件。当 m=-5, n=-4 时，mn=20，也符合条件。其他组合不满足 mn=20。计算 5m+7n：情况1得到53，情况2得到-53。因此最终答案是53或-53。
让我们总结一下这道题的解题过程。我们首先利用恒等式求出了 m²+n²=41，然后通过联立方程组得到了 m 和 n 的可能值，最后结合条件 mn=20 确定了有效解。这道题的关键在于巧妙运用代数恒等式和方程组的解法。最终答案是 5m+7n = 53 或 -53。