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马尔可夫链是一种重要的数学模型，用于描述随机过程。它是一种离散时间随机过程，具有马尔可夫性质。马尔可夫链由一系列状态组成，系统在这些状态之间按照一定的概率进行转移。其核心特点是无记忆性，即未来状态只依赖于当前状态，而与过去的历史状态无关。
马尔可夫性质是马尔可夫链的核心特征，也被称为无记忆性。它的数学表达是：给定当前状态的条件下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去的状态序列无关。换句话说，系统的未来演化只需要知道现在的状态，不需要知道它是如何到达当前状态的。这大大简化了概率计算。
转移概率矩阵是描述马尔可夫链的核心工具。矩阵中的每个元素P_{ij}表示从状态i转移到状态j的概率。这个矩阵具有重要性质：所有元素都非负，且每一行的元素之和等于1，这保证了概率的完整性。通过转移概率矩阵，我们可以完整地描述马尔可夫链的转移规律，并进行各种概率计算。
马尔可夫链在现实生活中有广泛的应用。比如天气预报、股票价格预测、网页排名算法、语言模型等都使用了马尔可夫链的原理。以天气预报为例，我们可以建立一个简单的三状态马尔可夫链：晴天、雨天和阴天。每种天气状态都有一定概率转移到其他状态。通过这个模型，我们可以预测未来几天的天气变化趋势。
总结一下，马尔可夫链是一种重要的数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。它的核心特点是无记忆性，即未来状态只依赖于当前状态。通过转移概率矩阵，我们可以完整地描述系统的演化规律。马尔可夫链在天气预报、金融建模、人工智能等众多领域都有重要应用，是理解和分析复杂系统的有力工具。