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我们需要解决一个几何优化问题。在一个底面半径为4厘米、高为9厘米的圆柱形容器中，放入两个相同半径的铁球，求铁球半径的最大值。这是一个典型的空间几何问题，需要考虑球体在圆柱容器中的最优排列方式。
为了求解这个问题，我们需要建立数学模型。设铁球半径为r，圆柱容器底面半径R等于4厘米，高度H等于9厘米。球心的位置受到约束：球心到圆柱轴线的距离不能超过R减去r，球心的高度必须在r到H减去r之间。当两个球相切时，球心之间的距离等于2r，此时铁球半径达到最大值。
接下来建立距离方程。两个球心之间的最大距离等于水平距离的平方加上垂直距离的平方再开根号。水平距离的最大值是2倍的R减去r，即2倍的4减去r。垂直距离的最大值是H减去2r，即9减去2r。当两球相切时，球心距离等于2r。这样我们就得到了关键的几何关系。
现在我们来求解这个二次方程。将距离关系代入得到：2r的平方等于2倍4减去r的平方加上9减去2r的平方。展开并整理得到4r平方减68r加145等于0。使用求根公式，判别式等于68的平方减去4倍4倍145，等于2304。开根号得到48。两个解分别是14.5和2.5。由于14.5大于圆柱半径4，不符合物理条件，因此铁球半径的最大值是2.5厘米。
最后我们来验证答案。当r等于2.5厘米时，球心到轴线的最大距离是R减去r等于1.5厘米。球心的高度范围是2.5到6.5厘米。此时最大水平距离是3厘米，最大垂直距离是4厘米，球心间最大距离是5厘米，正好等于2r。这证明我们的答案是正确的。因此，铁球半径的最大值为2.5厘米。