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正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数。它们描述了直角三角形中角与边长之间的关系。在直角三角形中，我们有角θ，对边b，邻边a，和斜边c。这两个函数为我们提供了计算三角形边长和角度的重要工具。
在直角三角形中，正弦函数定义为角θ的对边长度与斜边长度之比。余弦函数定义为角θ的邻边长度与斜边长度之比。红色线段表示对边，绿色线段表示邻边，蓝色线段表示斜边。这些定义为我们提供了计算三角形中未知边长的基础。
在单位圆中，我们可以将正弦和余弦函数的定义扩展到任意角度。以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆。对于任意角θ，从原点出发的射线与单位圆相交于一点，该点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这种定义使得正弦和余弦函数可以处理任意大小的角度。
正弦和余弦函数的图像展示了它们的重要性质。两个函数的定义域都是全体实数，值域都是负一到正一。它们都是周期函数，最小正周期为2π。正弦函数从0开始，呈波浪形变化。余弦函数从1开始，形状与正弦函数相似，但相位不同。这些图像帮助我们直观理解函数的周期性和连续性。
正弦和余弦函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，这可以通过单位圆上的直角三角形直观理解。还有奇偶性质：正弦是奇函数，余弦是偶函数。这些函数在物理学的波动和振动分析、工程学的信号处理、以及数学的解析几何等领域都有广泛应用，是现代科学技术的重要工具。