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这是一道初中数学竞赛试题。已知 m 等于 1 加根号 2，n 等于 1 减根号 2，且满足等式 (7m² - 14m + a)(3n² - 6n - 7) = 8，我们需要求出 a 的值。解决这类问题的关键是利用 m 和 n 的特殊性质来化简表达式。
首先化简表达式 7m² - 14m + a。由于 m 等于 1 加根号 2，我们可以得到 m 减 1 等于根号 2。将两边平方，得到 m 减 1 的平方等于 2，展开后得到 m² - 2m + 1 = 2，因此 m² - 2m = 1。所以 7m² - 14m + a 可以写成 7 倍的 m² - 2m 加 a，等于 7 倍 1 加 a，即 7 + a。
接下来化简表达式 3n² - 6n - 7。由于 n 等于 1 减根号 2，我们可以得到 n 减 1 等于负根号 2。将两边平方，得到 n 减 1 的平方等于 2，展开后得到 n² - 2n + 1 = 2，因此 n² - 2n = 1。所以 3n² - 6n - 7 可以写成 3 倍的 n² - 2n 减 7，等于 3 倍 1 减 7，即负 4。
现在将化简后的结果代入原方程。我们已经得到 7m² - 14m + a 等于 7 + a，3n² - 6n - 7 等于负 4。将这些代入原方程，得到 (7 + a) 乘以 负 4 等于 8。展开得到负 28 减 4a 等于 8。移项得到负 4a 等于 36，因此 a 等于负 9。
最后我们来验证答案。当 a 等于负 9 时，7m² - 14m + a 等于 7 加负 9，即负 2。而 3n² - 6n - 7 等于负 4。将这两个结果相乘，负 2 乘以负 4 等于 8，正好满足原方程。因此，a 的值等于负 9。