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柯西不等式是数学中一个重要的不等式，它建立了向量点积与它们的长度之间的关系。这个不等式在线性代数、分析学和几何学中都有广泛应用。
柯西不等式的数学表达式为：左边是各项乘积之和的平方，右边是各项平方和的乘积。让我们用一个具体例子来验证：向量u等于3逗号1，向量v等于1逗号2。计算得到点积为5，u的模长平方为10，v的模长平方为5。验证25小于等于50，不等式成立。
在向量形式下，柯西不等式表示为：向量u与向量v的点积的绝对值，小于等于两向量长度的乘积。几何上，这意味着向量点积不会超过两向量长度的乘积。图中显示了两个向量的夹角和投影关系，验证了不等式的成立。
柯西不等式中等号成立的条件是两个向量线性相关，即一个向量是另一个向量的常数倍。几何上表示两向量共线。图中展示了一个例子：向量u等于1.5倍的向量v，此时柯西不等式取等号，左边和右边都等于7.5。
柯西不等式在数学各领域都有广泛应用，包括证明其他不等式、求函数最值、线性代数中的范数理论、概率论中的相关系数，以及物理学中的能量估计。它的几何意义是向量夹角的余弦值绝对值不超过1。柯西不等式是数学分析中最重要的基本不等式之一，为许多数学理论提供了坚实的基础。