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等比数列是数学中一种重要的数列类型。它的定义是：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做公比，通常用字母q表示，且q不等于零。例如数列2、6、18、54，每相邻两项的比值都等于3，所以这是一个公比为3的等比数列。
等比数列的通项公式是 a_n 等于 a_1 乘以 q 的 n-1 次方。其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。利用这个公式，我们可以直接求出等比数列的任意一项。例如，对于数列 2、6、18、54，首项是2，公比是3，要求第5项，就是 2 乘以 3 的4次方，等于 2 乘以 81，结果是 162。从图像可以看出，等比数列呈指数增长的特点。
等比数列的前n项和公式分两种情况。当公比q等于1时，数列的每一项都相等，前n项和就是n乘以首项。当公比q不等于1时，前n项和等于首项乘以1减q的n次方，再除以1减q。也可以写成首项乘以q的n次方减1，除以q减1。例如求数列2、6、18、54前4项的和，首项是2，公比是3，代入公式得到结果是80。从柱状图可以看出前n项和随着项数增加而快速增长。
等比数列有许多重要的性质和解题技巧。首先是等比中项性质：如果三个数成等比数列，那么中间项的平方等于首末两项的乘积。其次是下标性质：如果下标的和相等，那么对应项的乘积也相等。还有前n项和的性质：连续的n项和也构成等比数列。在解题时，我们要灵活运用通项公式、前n项和公式，以及等比中项来简化计算。例如在数列1、3、9、27、81中，中间项9的平方等于81，正好等于两边项3和27的乘积，验证了等比中项的性质。
让我们通过一个综合例题来巩固等比数列的知识。已知等比数列中，第2项等于6，第5项等于162，要求首项和公比，以及前5项的和。解题思路是：首先利用通项公式建立方程组，然后通过两项的比值求出公比。第5项除以第2项等于q的3次方，即162除以6等于27，所以q等于3。再代入求得首项等于2。最后用前n项和公式计算前5项和等于242。这个例题展示了等比数列问题的典型解法：利用已知条件建立方程，求出基本量，再计算所需结果。