通过代数法说明直线与圆的位置关系，代数法指的是通过练习直线与圆的方程得到一元二次方程的根的判别式来判断直线与圆的位置关系。最好是能通过实际案例抽象出数学模型，然后制作成微课 习题：在某机械零件的设计中，有一个直径为 8cm 的圆形齿轮，需要安装一条直线传送带与之配合工作。已知传送带安装后，传送带所在直线到齿轮圆心的距离为 4cm。请判断传送带与齿轮的位置关系，并说明在这种位置关系下，齿轮转动时传送带的运动特点.若要使传送带与齿轮恰好只有一个接触点，传送带应如何调整？

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

代数法是判断直线与圆位置关系的重要方法。通过联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个一元二次方程。利用这个方程的判别式，就能准确判断直线与圆是相交、相切还是相离。当判别式大于零时，直线与圆相交有两个交点；等于零时相切有一个交点；小于零时相离没有交点。 现在我们来看一个实际的机械设计案例。有一个直径为8厘米的圆形齿轮，需要安装传送带与之配合工作。传送带到齿轮圆心的距离为4厘米。我们建立坐标系，以齿轮圆心为原点，则齿轮的方程为x²+y²=16，传送带所在直线的方程为y=4。接下来我们用代数法来分析它们的位置关系。 现在我们用代数法来求解。首先联立方程组：圆的方程x²+y²=16和直线方程y=4。将直线方程代入圆方程，得到x²+16=16，化简后得到x²=0。这是一个一元二次方程，其判别式Δ等于0。根据判别式的含义，当Δ=0时，方程有唯一解，说明直线与圆只有一个交点，即相切关系。 在相切状态下，齿轮与传送带具有独特的运动特点。由于只有一个接触点，齿轮转动时通过这个点将动力传递给传送带，使其做直线运动。在接触点处，齿轮圆周的线速度与传送带的线速度大小相等，方向相同。这种传动方式动力传递效率高，没有滑动摩擦，是机械设计中的理想状态。 通过代数法分析，我们得出结论：当前传送带与齿轮的位置关系是相切，这正是机械传动的最佳状态。代数法通过联立方程、消元和计算判别式，为我们提供了精确的数学分析工具。这种方法不仅适用于机械设计，在工程测量、几何分析等领域都有广泛应用，体现了数学与实际问题结合的重要价值。