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三角形的五心是几何学中的重要概念。它们分别是内心、外心、垂心、重心和旁心。每个中心都有独特的几何性质和构造方法，在数学和工程中都有重要应用。
内心是三角形三条内角平分线的交点，它到三边的距离相等，是内切圆的圆心。内心坐标公式为各顶点坐标按对边长度加权平均。外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三个顶点距离相等，是外接圆的圆心。外接圆半径等于三边长乘积除以四倍面积。
垂心是三角形三条高线的交点。在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在钝角三角形中，垂心位于外部；在直角三角形中，垂心就是直角顶点。重心是三条中线的交点，坐标为三个顶点坐标的算术平均值。重心将每条中线分成2比1的两段，且总是位于三角形内部。
旁心是三角形一条内角平分线与另外两条外角平分线的交点。每个三角形有三个旁心，分别对应三条边。旁心是旁切圆的圆心，旁切圆与三角形的一边相切，与另外两边的延长线相切。旁心坐标公式中，对应边的系数为负值。旁切圆半径等于面积除以半周长减去对应边长。
三角形的五心各有独特的几何性质和重要应用。内心保证到三边等距离，外心保证到三顶点等距离，垂心是高线的汇聚点，重心是质量的平衡点，旁心则与外切圆相关。这些概念在几何证明、工程设计、计算机图形学和建筑结构分析中都有广泛应用。值得注意的是，外心、重心和垂心三点共线，形成著名的欧拉线。