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代数和抽象代数是数学中两个相关但不同的概念。传统代数主要处理具体的数、变量和它们之间的运算，比如解方程、多项式运算等。而抽象代数则是代数的推广和深化，它不关注具体的数或符号，而是研究具有特定运算规则的集合所形成的结构。抽象代数关注的是运算本身的性质，以及不同结构之间的共性。
代数结构是抽象代数的核心研究对象。一个代数结构由一个非空集合和定义在这个集合上的一个或多个运算组成。例如，整数集合Z和加法运算构成代数结构(Z,+)；实数集合R和加法、乘法运算构成代数结构(R,+,×)。代数结构为我们提供了一个统一的框架来研究不同数学对象的共同性质。
封闭性是运算在一个集合上必须满足的基本性质，是构成代数结构的前提。如果在集合S上定义了运算*，对于集合S中的任意两个元素a和b，如果它们的运算结果a*b仍然属于集合S，那么就说运算*在集合S上是封闭的。例如，整数集合对加法是封闭的，因为任意两个整数相加结果还是整数。但整数集合对除法不封闭，因为1除以2等于0.5不在整数集合中。
公理系统是一组基本规则或性质，用来定义特定类型的代数结构。不同的代数结构类型由不同的公理系统来刻画。例如，群的公理系统包括封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。如果一个集合上的运算满足这些公理，那么这个集合和运算就构成一个群结构。公理系统是抽象代数研究各种结构共性和差异的重要工具。
总结这些概念之间的关系：抽象代数是研究代数结构的数学分支。代数结构由集合和运算构成，运算必须满足封闭性。公理系统规定了集合和运算需要满足的进一步性质，从而定义了特定类型的代数结构，如群、环、域等。抽象代数通过公理系统来抽象地研究满足封闭性的集合上的运算所形成的代数结构，从而超越了传统代数中对具体数和运算的关注，为现代数学提供了统一的理论框架。