什么是数学中的“3578”模型---模型 27 “3578” 模型 模型展现 **基础模型** 图示: 三角形 ABC. 角 C 处标注 120°. 边 AC 标注 3, 边 BC 标注 5, 边 AB 标注 7. 条件: 在△ABC中, AC=3, BC=5, AB=7 结论: ∠ACB=120° [QR Code Image] 视频讲模型 **【结论分析】** 结论: ∠ACB=120° 证明: 如图, 过点 B 作 BK⊥AC 交 AC 的延长线于点 K, [Diagram for Proof]: 三角形 ABC. 顶点 A, B, C. 边 AC 延长至点 K. 线段 BK 垂直于线段 AK. 形成直角三角形 BKC 和 BKA. 边 AC=3, BC=5, AB=7. 设 CK=x, 则 AK=AC+CK=3+x, 在 Rt△AKB 和 Rt△CKB 中, 根据勾股定理有: AB²-AK² = BC²-CK², 即 49-(3+x)² = 25-x², 解得 x = 5/2. ∴ CK = 5/2, ∴ cos ∠KCB = 1/2, ∴ ∠KCB = 60°, ∴ ∠ACB = 180° - ∠KCB = 180° - 60° = 120°. **拓展模型 1——“378” 模型** [Diagram]: 三角形 ABD. 顶点 A, B, D. 角 A 处标注 60°. 边 AD 标注 3, 边 AB 标注 7, 边 BD 标注 8. 条件: 在△ABD中, AD=3, AB=7, BD=8 结论: ∠ADB=60° **拓展模型 2——“578” 模型** [Diagram]: 三角形 ABE. 顶点 A, B, E. 角 A 处标注 60°. 边 AE 标注 5, 边 AB 标注 7, 边 BE 标注 8. 条件: 在△ABE中, AE=5, AB=7, BE=8 结论: ∠AEB=60°

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数学中的"3578"模型是一种重要的几何模型。基础模型是边长分别为3、5、7的三角形，其核心结论是边长为7的边所对的角恰好等于120度。这个模型在解决三角形问题时非常有用。 现在我们来证明这个结论。过点B作垂线BK，垂直于AC的延长线，交于点K。设CK等于x，那么AK就等于AC加CK，即3加x。在直角三角形AKB和CKB中，我们可以应用勾股定理来建立方程，最终求解出角ACB等于120度。 根据勾股定理，我们有AB的平方减去AK的平方等于BC的平方减去CK的平方。代入数值得到49减去3加x的平方等于25减去x的平方。展开并化简得到x等于五分之二。然后计算余弦角KCB等于二分之一，所以角KCB等于60度。因此角ACB等于180度减去60度，即120度。 "3578"模型是三角形几何中的一个重要特殊模型。在这个模型中，三角形的三边长分别为3、5、7，其中最大角为120度。这个模型揭示了特殊边长与角度之间的关系，在解决几何问题时具有重要应用价值。 现在我们用余弦定理来验证这个结论。根据余弦定理，c的平方等于a的平方加b的平方减去2ab乘以cos C。将边长3、5、7代入公式，得到49等于9加25减去30乘以cos C，即49等于34减去30cos C。解得cos C等于负二分之一，因此角C等于120度。这验证了我们的基础模型。 我们也可以用几何方法证明这个结论。过点B作垂线BK垂直于AC的延长线，设CK等于x，则AK等于3加x。在直角三角形AKB和CKB中，根据勾股定理有AB的平方减去AK的平方等于BC的平方减去CK的平方。代入数值解得x等于五分之二。因此cos角KCB等于二分之一，角KCB等于60度，所以角ACB等于180度减60度等于120度。 基于"357"模型，我们可以得到两个重要的拓展模型。第一个是"378"模型，即边长为3、7、8的三角形，其中边长7所对的角为60度。第二个是"578"模型，即边长为5、7、8的三角形，同样边长7所对的角也是60度。这些模型之间存在密切的联系，注意到3加5等于8，而120度和60度互为补角。 "3578"模型是一个完整的几何模型体系。基础模型是边长为3、5、7的三角形，其中最大角为120度。两个拓展模型分别是"378"和"578"三角形，边长7所对的角都是60度。这些模型之间存在密切联系：边长上3加5等于8，角度上120度和60度互为补角。这个模型在解决几何问题时具有重要的应用价值，能够帮助我们快速识别特殊三角形并简化计算过程。